§ 2. Ориентация поверхности

Напомним, прежде всего, что переход от одного репера пространства к другому осуществляется посредством квадратной матрицы возникающей из разложений Определитель этой матрицы всегда отличен от нуля и все реперы пространства разбиваются на два класса эквивалентности, если в один класс отнести реперы для которых определитель матрицы взаимного перехода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами ориентации реперов пространства

Задать ориентацию значит по определению фиксировать один из этих классов ориентации реперов Таким образом, ориентированное пространство — это само пространство плюс фиксированный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации, достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что ориентированное пространство — это вместе с фиксированным в нем репером.

Репер в К порождает в систему координат и переход от одной такой системы координат к другой осуществляется матрицей транспонированной по отношению к матрице связи реперов. Поскольку определители этих, матриц одинаковы, можно было бы все сказанное выше об ориентации повторить на уровне классов ориентации систем координат в относя в один класс те координатные системы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с положительным якобианом.

Оба эти по существу совпадающие подхода к описанию понятия ориентации пространства проявятся и при описании понятия ориентации поверхности, к которому мы переходим.

Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между координатами и реперами в случае, когда речь идет о системе криволинейных координат.

Пусть — диффеоморфные области, лежащие в двух экземплярах пространства наделенных декартовыми координатами соответственно. Диффеоморфизм можно рассматривать как введение в области криволинейных координат по закону т. е. точка наделяется декартовыми координатами точки Если в каждой точке рассмотреть репер касательного пространства составленный из ортов координатных направлений, то в возникнет поле реперов, которое можно рассматривать как разнесение по точкам параллельно самому себе орторепера исходного пространства содержащего область

Рис. 74.

Поскольку — диффеоморфизм, отображение касательных пространств, осуществляемое по закону в каждой точке является изоморфизмом касательных пространств. Значит, из репера при этом получится репер в а поле реперов на преобразуется в поле реперов на (рис. 74). Поскольку то векторное поле непрерывно в если векторное поле непрерывно в Таким образом, любое непрерывное поле реперов (состоящее из непрерывных векторных полей) при диффеоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов.

Рассмотрим теперь пару диффеоморфизмов

2, которые по закону вводят в одной и же области две системы криволинейных координат Взаимно обратные диффеоморфизмы осуществляют взаимные переходы между этими системами координат. Якобианы этих отображений в соответствующих друг другу точках областей взаимно обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область (а вместе с нею связна, то ввиду непрерывности и необращенная в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак во всех точках областей соответственно.

Значит, все вводимые указанным способом в связной области системы криволинейных координат распадаются точро на два класса эквивалентности, если в один класс отнести те системы,

взаимные преобразования которых осуществляются с положительным якобианом. Такие классы эквивалентности называют классами ориентаций систем криволинейных координат в области

Задать ориентацию в области по определению означает фиксировать в класс ориентации систем ее криволинейных координат.

Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области порождают в (как это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой точке лежат в одном классе ориентации реперов касательного пространства Можно показать, что вообще непрерывные поля реперов области в случае ее связности разбиваются точно на два класса эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в каждой точке принадлежат одному классу ориентации реперов пространства (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа).

Таким образом, одну и ту же ориентацию области можно задать двумя, совершенно равносильными способами: указанием некоторой системы криволинейных координат в или заданием любого непрерывного поля реперов в принадлежащего тому же классу ориентации, что и поле реперов, порожденное этой системой координат.

Теперь ясно, что ориентация связной области вполне определится, если хотя бы в одной тбчке будет указан репер, ориентирующий Это обстоятельство широко используется на практике. Если такой ориентирующий репер в некоторой точке задан, и взята какая-то система криволинейных координат в области построив в репер, индуцированный этой системой координат, сравниваем его с заданным в ориентирующим репером. В случае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации считает, что криволинейные координаты задают на ту же ориентацию, которая предписывается ориентирующим репером. В противном случае — противоположную ориентацию.

Если открытое, но не обязательно связное множество, то, поскольку все изложенное применимо к любой связной компоненте множества для того чтобы ориентировать надо задать свой ориентирующий репер в каждой связной компоненте Значит, если таких компонент то множество допускает различных ориентаций.

Сказанное об ориентации области можно дословно повторить, если вместо области рассмотреть задаваемую одной картой гладкую -мерную поверхность в (рис. 75). В этом случае системы криволинейных координат тоже разбиваются естественным образом на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана преобразований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов на тоже задание ориентации может

быть осуществлено ориентирующим репером, лежащим в некоторой касательной к плоскости

Единственный новый элемент, который тут возникает и требует проверки, это неявно присутствующее

Утверждение 1. Взаимные переходы от одной системы криволинейных координат на гладкой поверхности к другой являются диффеоморфизмами той же степени гладкости, что и карты поверхности.

В самом деле, в силу утверждения из § 1 любую карту локально можно рассматривать как сужение на диффеоморфизма некоторой -мерой окрестности точки на -мерную окрестность точки причем того же класса гладкости; что и . Если теперь — две такие карты, то возникающее в их общей области действия отображение (переход от первой системы координат ко второй) локально представляется в виде где — соответствующие диффеоморфизмы -мерных окрестностей.

Рис. 75

На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой, мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями, относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в

Пусть — гладкая -мерная поверхность в и пусть — две локальные карты поверхности районы действия которых пересекаются, т. е. Тогда между множествами как было только что доказано, естественно устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы осуществляющие переход от одной локальной системы криволинейных координат на к другой.

Определение 1. Две локальные карты поверхности называют согласованными, либо когдарайоны их действия не пересекаются, либо когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с положительным якобианом.

Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим аттсом поверхности, если он состоит из попарно согласованных карт.

Определение 3. Поверхность называется ориентируемой, если она обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверхность называется неориентируемой.

В отличие от областей пространства или элементарных поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может оказаться и неориентируемой.

Пример 1. Лист Мёбиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3 в конце параграфа), — неориентируемая поверхность.

Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае — тоже неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист Мёбиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки Клейна, изображенной на рис. 73.

Пример 3. Окружность и вообще -мерная сфера — ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением атласа сферы, состоящего из согласованных карт (см. пример 2 из § 1).

Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из § 1 двумерный тор также является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя указанные в примере 4, § 1 параметрические уравнения тора, легко предъявить его ориентирующий атлас.

Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить сказанное в примерах 1 - 4.

Формальное описание понятия ориентации поверхности будет завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже определения 4, 5.

Два ориентирующих атласа поверхности будем считать эквивалентными, если их объединение также является ориентирующим атласом этой поверхности.

Указанное отношение действительно является отношением эквивалентности между ориентирующими атласами ориентируемой поверхности.

Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов поверхности по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией поверхности.

Определение 5. Ориентированной поверхностью называется поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т. е. с фиксированной на ней ориентацией).

Таким образом, ориентировать поверхность — значит тем или иным способом указать определенный класс ориентации ориентирующих атласов этой поверхности.

Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях

Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхности существует точно две ориентации.

Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями.

Доказательство утверждения 2 см. в гл. XV, § 2, п. 3.

В общем случае произвольной поверхности верно также и то [см. задачи 3, 4), что наличие на ней ориентирующего атласа равносильно наличию на этой поверхности непрерывного поля реперов касательных плоскостей (пространств) и что классам ориентации атласов поверхности отвечают классы ориентации непрерывных полей реперов на ней.

Значит, как и в разобранном выше частном случае, задать ориентацию поверхности можно двояко: либо предъявив ориентирующий атлас поверхности, либо указав соответствующее непрерывное поле реперов на этой поверхности.

Рис. 76.

Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее ориентации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее касательных плоскостей. Этим широко пользуются на практике.

Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое указание локальной карты или репера естественно делается в каждой компоненте связности.

Очень широко на практике применяется также следующий способ задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном пространстве. Пусть — ориентируемая -мерная поверхность, лежащая в евклидовом пространстве с фиксированным в ориентирующим репером Пусть — -мерная плоскость, касательная к в точке — вектор, ортогональный т. е. вектор нормали к поверхности в точке х. Если при заданном векторе условиться в репер выбирать так, чтобы реперы принадлежали одному классу ориентации пространства то, как легко видеть, такие реперы плоскости сами окажутся принадлежащими одному классу ориентации этой плоскости. Значит, указание класса ориентации плоскости а вместе с ним и задание ориентации на связной ориентируемой поверхности в этом случае можно осуществить, задав нормальный вектор (рис. 76).

Непрерывному полю реперов на -мерной поверхности, очевидно, соответствует непрерывное поле единичных нормальных векторов к этой поверхности. Нетрудно проверить (см. задачу 4), что верно и обратное. Таким образом, ориентируемость -мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве

равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных векторов.

Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сферы, тора и неориентируемость листа Мёбиуса, о чем говорилось в примерах 7—10.

Связные -мерные поверхности в евклидовом пространстве на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.

Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в — двусторонние поверхности, в отличие от листа Мёбиуса, являющегося в этом смысле односторонней поверхностью.

Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем несколько замечаний, относящихся к практике использования этого понятия в анализе.

В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными поверхностями в обычно сначала находят какую-то локальную параметризацию поверхности не заботясь об ориентации. Затем строят в некоторой касательной плоскости к поверхности репер из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы криволинейных координат, т. е. строят ориентирующий репер, индуцированный этой системой координат..

Если пространство было ориентировано, а ориентация задавалась полем нормальных векторов, то берут вектор данного поля в точке х и сравнивают репер с репером ориентирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации, то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбранная карта задает ориентацию поверхности, противоположную предписанной нормалью

Ясно, что при наличии какой-то локальной карты -мерной поверхности простым изменением порядка координат можно получить локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фиксированным нормальным вектором к двусторонней гиперповерхности, лежащей в ориентированном пространстве

В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее точке и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят направление движения вдоль кривой.

Если на плоскости выбран ориентирующий репер и задана замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль кривой) ограниченной этой кривой области прцнято считать такое, при котором репер где — вектор внешней по отношению к нормали к кривой, а — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим репером

Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение «против часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается «слева».

В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто задают, отмечая не репер, в а положительное направление движения вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности.

Задание такого направления по существу есть указание направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на плоскости.

Задачи и упражнения

(см. скан)