6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.
Леммы 3 и 4 наводят на мысль воспользоваться возможностью локального разложения любого диффеоморфизма в композицию простейших (см. утверждение 2 из п. 4 § 6 гл. VIII часть 
) и на этом пути получить в общем случае формулу (3).
Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестностям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1, 3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных в кратном интеграле.
Для каждой точки 
компакта 
построим такую ее 
(
-окрестность 
в которой диффеоморфизм 
раскладывается в композицию простейших. Из 
точек 
выделим конечное покрытие 
компакта 
Пусть 
Тогда любое множество, диаметр которого меньше чем 
и которое пересекается с очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из окрестностей системы 
Пусть теперь 
— промежуток, содержащий множество 
такое разбиение промежутка 
что 
где число 
найдено выше, 
расстояние от 
до границы множества 
Пусть 
— те промежутки разбиения Р, которые имеют с 
непустое пересечение. Ясно, что если 
то 
и
Образ 
промежутков 
по лемме 1 является измеримым множеством. Тогда и множество 
измеримо, и 
Используя аддитивность интеграла, отсюда
выводим, что
По построению любой промежуток 
содержится в некоторой окрестности 
в пределах которой диффеоморфизм 
раскладывается в композицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно записать, что
Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3).
