3. Критерий Дарбу.
Рассмотрим еще один полезный критерий интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к вещественнозначным функциям.
a. Нижние и верхние интегральные суммы.
Пусть 
— вещественнозначная функция на промежутке 
— разбиение промежутка I. Положим
Определение 10. Величины
называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой (Дарбу) функции 
на промежутке I, отвечающей разбиению Р этого промежутка.
Лемма 5. Между интегральными суммами функции 
имеют место следующие соотношения-.
b) если разбиение Р промежутка I получается измельчанием промежутков разбиения Р, то 
для любой пары 
разбиений промежутка 1 справедливо неравенство 
Соотношения а) и b) непосредственно следуют из определений 6 и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней числового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть вспомогательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков разбиений 
Разбиение Р можно рассматривать как измельчание каждого из разбиений 
поэтому из соотношений 
следует, что
b. Нижний и верхний интегралы.
Определение 11. Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от функции 
на промежутке 1 называются соответственно величины
где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Р промежутка 
Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу следует, что для любого разбиения Р промежутка имеют место неравенства
Теорема 2 (Дарбу). Для любой ограниченной функции 
имеют место утверждения
Если сопоставить эти утверждения с определением 11, то становится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование указанных пределов. Проверим это для нижних интегральных сумм.
Фиксируем 
и такое разбиение 
промежутка 
для которого 
. Пусть 
— совокупность точек промежутка I, лежащих на границе промежутков разбиения 
. Как следует из примера 
есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры множества 
очевидно даже, что найдется число 
такое, что для любого разбиения Р, для которого 
сумма объемов тех его промежутков, которые имеют общие точки с 
меньше чем е.
Взяв теперь любое разбиение Р с параметром 
образуем вспомогательное разбиение Р, получаемое пересечением промежутков разбиений 
. В силу выбора разбиения 
и свойств сумм Дарбу (лемма 5), находим
Теперь заметим, что в суммах 
общими являются все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не задевающим 
. Поэтому, если 
на 
то
и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что при К (Р) с имеет место соотношение
Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем, что предел 
действительно существует и равен 3.
Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм.
с. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.
Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке 
вещественнозначная функция 
интегрируема на нем тогда и только тогда, когда она ограничена на I и ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают.
Итак,
Необходимость. Если 
, то по утверждению 1 функция 
ограничена на 
. Из определения 7 интеграла, определения 11 величин 
леммы 5 следует, что в этом случае также 
Достаточность. Поскольку 
, то при 
крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к одному и тому же пределу, когда 
Значит, 
имеет и притом тот же предел при 
Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что если функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции;
Задачи и упражнения
(см. скан)
