Математический анализ. Часть II.
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства. 3. Подпространство метрического пространства. 4. Прямое произведение метрических пространств. § 2. Топологическое пространство 2. Подпространство топологического пространства. 3. Прямое произведение топологических пространств. § 3. Компакты 2. Метрические компакты. § 4. Связные топологические пространства § 5. Полные метрические пространства 2. Пополнение метрического пространства. § 6. Непрерывные отображения топологических пространств 2. Непрерывные отображения. § 7. Принцип сжимающих отображений ГЛАВА X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 2. Норма в линейном пространстве. 3. Скалярное произведение в векторном пространстве. § 2. Линейные и полилинейные операторы 2. Норма оператора. 3. Пространство непрерывных операторов. § 3. Дифференциал отображения 2. Общие законы дифференцирования. 3. Некоторые примеры. 4. Частные производные отображения. § 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении. § 5. Производные отображения высших порядков 2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала. 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка. 4. Некоторые замечания. § 3. Формула Тейлора и исследование экстремумов 2. Исследование внутренних экстремумов. 3. Некоторые примеры. § 7. Общая теорема о неявной функции ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. 3. Критерий Дарбу. § 2. Интеграл по множеству 2. Интеграл по множеству. 3. Мера (объем) допустимого множества. § 3. Общие свойства интеграла 2. Аддитивность интеграла. 3. Оценки интеграла. § 4. Сведение кратного интеграла к повторному 2. Некоторые следствия. § 5. Замена переменных в кратном интеграле 2. Измеримые множества и гладкие отображения. 3. Одномерный случай. 4. Случай простейшего диффеоморфизма в R^n. 5. Композиция отображений и формула замены переменных. 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле. 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах. § 6. Несобственные кратные интегралы 2. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла. 3. Замена переменных в несобственном интеграле. ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R^n § 2. Ориентация поверхности § 3. Край поверхности и его ориентация 2. Согласование ориентации поверхности и края. § 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве § 5. Начальные сведения о дифференциальных формах 2. Координатная запись дифференциальной формы. 3. Внешний дифференциал формы. 4. Перенос векторов и форм при отображениях. 5. Формы на поверхностях. ГЛАВА XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности. § 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 2. Площадь поверхности как интеграл от формы. 3. Форма объема. 4. Выражение формы объема в декартовых координатах. 5. Интегралы первого и второго рода. § 3. Основные интегральные формулы анализа 2. Формула Гаусса — Остроградского. 3. Формула Стокса в R^3. 4. Общая формула Стокса. ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ § 1. Дифференциальные операции векторного анализа 2. Векторные поля и формы в R^3. 3. Дифференциальные операторы rad, rot, div и V. 5. Векторные операции в криволинейных координатах. § 2. Интегральные формулы теории поля 2. Физическая интерпретация div, rot, grad. 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы. § 3. Потенциальные поля 2. Необходимое условие потенциальности. 3. Критерий потенциальности векторного поля. 4. Топологическая структура области и потенциал. 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы. § 4. Примеры приложений 2. Уравнение неразрывности. 3. Основные уравнения динамики сплошной среды. 4. Волновое уравнение. ГЛАВА XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ 2. Алгебра кососимметрических форм. 3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств. § 2. Многообразие 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. 3. Ориентация многообразия и его края. 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R^n. § 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях 2. Дифференциальная форма на многообразии. 3. Внешний дифференциал. 4. Интеграл от формы по многообразию. § 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 2. Гомологии и когомологии. ГЛАВА XVI. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ § 1. Поточечная и равномерная сходимость 2. Постановка основных вопросов. 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра. 4. Критерий Коши равномерной сходимости. § 2. Равномерная сходимость рядов функций 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. § 3. Функциональные свойства предельной функции 2. Условия коммутирования двух предельных переходов. 3. Непрерывность и предельный переход. 4. Интегрирование и предельный переход. 5. Дифференцирование и предельный переход. § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций 2. Метрическое пространство C(K,Y). 3. Теорема Стоуна. ГЛАВА XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра. § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра. 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру. § 3. Эйлеровы интегралы 2. Гамма-функция. 3. Связь между функциями В и Г. 4. Некоторые примеры. § 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 2. Некоторые общие свойства свертки. 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса. 4. Начальные представления о распределениях § 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью. 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае. ГЛАВА XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ § 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье 2. Коэффициенты Фурье. 3. Ряд Фурье. 4. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе. § 2. Тригонометрический ряд Фурье 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье. 4. Полнота тригонометрической системы § 3. Преобразование Фурье 2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье. 4. Примеры приложений. ГЛАВА XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ § 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 2. Общие сведения об асимптотических рядах. 3. Степенные асимптотические ряды. § 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа. 3. Канонические интегралы и их асимптотика. 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа. 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа. ЛИТЕРАТУРА УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ |
