2. Физическая интерпретация div, rot, grad.

а. Дивергенция.

Формулу (5) можно использовать для выяснения физического смысла величины — дивергенции векторного поля В в некоторой точке х области V задания поля. Пусть — содержащаяся в V окрестность (например, шаровая) точки х. Объем этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом а ее диаметр буквой

Из формулы (5) по теореме о среднем для тройного интеграла получаем

где х — некоторая точка окрестности Если то а коль скоро В — гладкое поле, той Значит,

Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа). Тогда поток, поля через границу области или, что то же самое, объемный расход среды через границу этой области, в силу закона сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним словом «источники» в области Значит, дробь в правой части соотношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность источников в области а предел этой величины, т. е. есть удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины в области к объему этой области, когда , принято называть плотностью этой величины в точке а плотность как функцию точки обычно называют плотностью распределения данной величины в той «ли иной части пространства.

Таким образом, дивергенцию векторного поля В можно интерпретировать как плотность распределения источников в области течения, т. е.. в области задания поля В.

Пример 1. Если, в частности, т. е. никаких источников нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым: сколько втекает в область — столько из нее и вытекает. И, как показывает формула (5), это действительно так.

Пример 2. Точечный электрический заряд величины создает в пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в начало координат. По закону Кулона напряженность поля в точке (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в точке представляется в виде

где размерная постоянная, а — радиус-вектор точки х.

Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических координатах поэтому из формулы предыдущего параграфа сразу видно, что всюду в области определения поля Е.

Значит, если взять любую область V, не содержащую начала координат, то в силу формулы (5) поток поля Е через границу области V окажется нулевым.

Возьмем теперь сферу радиуса с центром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару) нормами. Поскольку вектор как раз и является единичной внешней нормалью к сфере, то

Таким образом (с точностью до размерной койстанты зависящей от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда, содержащегося в ограниченном сферой объеме.

Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть формулы (5) корректно определена на сфере а подынтегральная функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре V, кроме всего лишь одной точки — начало координат. И тем не менее проведенные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы (5) нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля

С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбора этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке и потому мы не имеем права говорить о равенстве

(5), доказанном для гладких, определенных во всей области V интегрирования полей. Однако физическая интерпретация равен ства (5) как закона сохранения массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть справедливо всегда.

Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в на чале координат величины из примера 2. Формально в начале координат не определено и исходное поле Е, но, если искать , исходя из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать, что Значит, под интегралом в правой части (5) оказалась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала координат вообще нет зарядов, а весь заряд мы умудрились поместить в нулевой объем — в одну точку О, в которой плотность заряда, естественно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой -функцией Дирака.

Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы, взяв от них интеграл, найти значения самих величин Поэтому нет нужды определять отдельно -функцию как функцию точки, важнее определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция» должна отвечать плотности такого распределения, например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена только в одной точке то естественно положить, что

когда

Таким образом, с точки зрения математической идеализации представлений о возможном распределении физической величины (массы, заряда, и т. в пространстве, следует считать, ее плотность распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора сингулярных «функций» (типа -функции Дирака), отвечающих сосредоточению величины в отдельных точках пространства.

Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части соотношения (5) действительно оказывается равным либо либо 0 в зависимости от того, содержит ли область V начало координат (и сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.

В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо трактовать плотность распределения электрического заряда в системе уравнений Максвелла, рассмотренной в § 1 (формулы (12)).

b. Ротор.

Рассмотрение физического смысла ротора векторного поля начнем со следующего примера.

Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг фиксированной оси (пусть это ось Найдем ротор поля линейных скоростей точек пространства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент времени).

В цилиндрических координатах поле имеет простую запись: . Тогда по формуле из § 1 сразу находим, что То есть в данном случае является вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина с точностью до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а направление вектора, с учетом ориентации всего пространства вполне определяет и направление вращения.

Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх). Таким образом, ротор векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в окрестности этой точки.

Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве характеристики - завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне описать завихренность поля в окрестности точки, придется считать циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем сказанное.

Возьмем круг с центром в точке х, лежащей в плоскости, перпендикулярной к направлению координатной оси . Ориентируем с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт этой координатной оси. Пусть — диаметр Из формулы (4) для гладкого поля А сразу получаем, что

где через обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким образом, отнесенная к единице площади циркуляции поля А на окружности плоскости, ортогональной координатной оси, характеризует компоненту вектора

Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого тела. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально линейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рассматривать как некоторую плотность распределения локальных вращений среды.

с. Градиент.

О градиенте скалярного поля, т. е. попросту о градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили, поэтому здесь остается только напомнить главное.

Поскольку где - производная функции по вектору то вектор ортогонален поверхностям уровня функции указывает в каждой точке направление наиболее быстрого роста значений функции, а его величина дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой измеряются смещения в пространстве изменения аргумента).

О градиенте как плотности будет сказано ниже.