Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Физическая интерпретация div, rot, grad.

а. Дивергенция.

Формулу (5) можно использовать для выяснения физического смысла величины дивергенции векторного поля В в некоторой точке х области V задания поля. Пусть — содержащаяся в V окрестность (например, шаровая) точки х. Объем этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом а ее диаметр буквой

Из формулы (5) по теореме о среднем для тройного интеграла получаем

где х — некоторая точка окрестности Если то а коль скоро В — гладкое поле, той Значит,

Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа). Тогда поток, поля через границу области или, что то же самое, объемный расход среды через границу этой области, в силу закона сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним словом «источники» в области Значит, дробь в правой части соотношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность источников в области а предел этой величины, т. е. есть удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины в области к объему этой области, когда , принято называть плотностью этой величины в точке а плотность как функцию точки обычно называют плотностью распределения данной величины в той «ли иной части пространства.

Таким образом, дивергенцию векторного поля В можно интерпретировать как плотность распределения источников в области течения, т. е.. в области задания поля В.

Пример 1. Если, в частности, т. е. никаких источников нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым: сколько втекает в область — столько из нее и вытекает. И, как показывает формула (5), это действительно так.

Пример 2. Точечный электрический заряд величины создает в пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в начало координат. По закону Кулона напряженность поля в точке (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в точке представляется в виде

где размерная постоянная, а — радиус-вектор точки х.

Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических координатах поэтому из формулы предыдущего параграфа сразу видно, что всюду в области определения поля Е.

Значит, если взять любую область V, не содержащую начала координат, то в силу формулы (5) поток поля Е через границу области V окажется нулевым.

Возьмем теперь сферу радиуса с центром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару) нормами. Поскольку вектор как раз и является единичной внешней нормалью к сфере, то

Таким образом (с точностью до размерной койстанты зависящей от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда, содержащегося в ограниченном сферой объеме.

Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть формулы (5) корректно определена на сфере а подынтегральная функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре V, кроме всего лишь одной точки — начало координат. И тем не менее проведенные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы (5) нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля

С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбора этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке и потому мы не имеем права говорить о равенстве

(5), доказанном для гладких, определенных во всей области V интегрирования полей. Однако физическая интерпретация равен ства (5) как закона сохранения массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть справедливо всегда.

Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в на чале координат величины из примера 2. Формально в начале координат не определено и исходное поле Е, но, если искать , исходя из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать, что Значит, под интегралом в правой части (5) оказалась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала координат вообще нет зарядов, а весь заряд мы умудрились поместить в нулевой объем — в одну точку О, в которой плотность заряда, естественно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой -функцией Дирака.

Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы, взяв от них интеграл, найти значения самих величин Поэтому нет нужды определять отдельно -функцию как функцию точки, важнее определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция» должна отвечать плотности такого распределения, например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена только в одной точке то естественно положить, что

когда

Таким образом, с точки зрения математической идеализации представлений о возможном распределении физической величины (массы, заряда, и т. в пространстве, следует считать, ее плотность распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора сингулярных «функций» (типа -функции Дирака), отвечающих сосредоточению величины в отдельных точках пространства.

Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части соотношения (5) действительно оказывается равным либо либо 0 в зависимости от того, содержит ли область V начало координат (и сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.

В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо трактовать плотность распределения электрического заряда в системе уравнений Максвелла, рассмотренной в § 1 (формулы (12)).

b. Ротор.

Рассмотрение физического смысла ротора векторного поля начнем со следующего примера.

Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг фиксированной оси (пусть это ось Найдем ротор поля линейных скоростей точек пространства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент времени).

В цилиндрических координатах поле имеет простую запись: . Тогда по формуле из § 1 сразу находим, что То есть в данном случае является вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина с точностью до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а направление вектора, с учетом ориентации всего пространства вполне определяет и направление вращения.

Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх). Таким образом, ротор векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в окрестности этой точки.

Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве характеристики - завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне описать завихренность поля в окрестности точки, придется считать циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем сказанное.

Возьмем круг с центром в точке х, лежащей в плоскости, перпендикулярной к направлению координатной оси . Ориентируем с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт этой координатной оси. Пусть диаметр Из формулы (4) для гладкого поля А сразу получаем, что

где через обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким образом, отнесенная к единице площади циркуляции поля А на окружности плоскости, ортогональной координатной оси, характеризует компоненту вектора

Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого тела. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально линейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рассматривать как некоторую плотность распределения локальных вращений среды.

с. Градиент.

О градиенте скалярного поля, т. е. попросту о градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили, поэтому здесь остается только напомнить главное.

Поскольку где - производная функции по вектору то вектор ортогонален поверхностям уровня функции указывает в каждой точке направление наиболее быстрого роста значений функции, а его величина дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой измеряются смещения в пространстве изменения аргумента).

О градиенте как плотности будет сказано ниже.

1
Оглавление
email@scask.ru