3. Канонические интегралы и их асимптотика.

Лемма 3. Если вещественнознанная функция в окрестности (полуокрестности) точки принадлежит классу гладкости причем

или то существуют такие окрестности (полуокрестности) точки точки 0 в и такой диффеоморфизм что

При

Воспользовавшись формулой Тейлора

и теоремой о дифференцировании интеграла

по параметру х, представим разность в виде

где — функция класса гладкости причем . Значит, функция

в некоторой окрестности (полуокрестности) точки также принадлежит классу гладкости и даже монотонна, поскольку

В таком случае рассматриваемая на функция имеет обратную функцию определенную на промежутке содержащем точку

Функция принадлежит классу поскольку на . Далее, Наконец, по самому построению

Замечание 1. Наибольший интерес представляют обычно следующие случаи:

Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле (1) отрезок интегрирования конечный и выполнены следующие условия:

достигается только в одной точке ;

в некоторой окрестности точки (рассматриваемой в пределах промежутка

и если Тогда при интеграл (1) с погрешностью, определяемой принципом локализации (8), может быть заменен интегралом вида

где или — сколь угодно малое положительное число, а функция того же класса гладкости на что и функция в окрестности точки

Используя принцип локализации, заменим интеграл (1) интегралом по такой окрестности точки в которой выполнены условия леммы 3. Сделав замену переменной получим

Знак минус в показателе связан с тем, что по условию есть точка максимума.

Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных случаях приводится интеграл Лапласа (1) дает

Лемма 4 (лемма Ватсона Пусть Тогда относительно асимптотики интеграла

при справедливы следующие утверждения.

a) Главный член асимптотики интеграла (12) имеет вид

если известно, что при

Если — бесконечно дифференцируема при то имеет место асимптотическое разложение

которое можно дифференцировать по X любое число раз.

Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по промежуткам , где — сколь угодно малое положительное число.

По лемме 1

поэтому

В случае где на отрезке Значит,

где — ограниченная величина при

По лемме I при

Но

откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай — формула (13).

Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора. Возможность дифференцировать разложение (15) по X следует из того, что производная интеграла (12) по параметру X есть интеграл того же типа (12) и для можно в соответствии с формулой (15) предъявить в явном виде асимптотическое разложение при совпадающее с тем, которое получается формальным дифференцированием исходного разложения (15). Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа

уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится абсолютно при некотором значении а функция бесконечно дифференцируема при то по формуле (15) находим, что