3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье.

а. Некоторые определения, обозначения и примеры.

Выше мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной на вещественной прямой функции . В частности, мы уяснили связь, существующую между свойствами регулярности самой функции и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобразования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы концентрированной форме и безтехнических осложнений изложить фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от изложенного выше.

Определение 5. Пусть — локально интегрируемая на функция. Функция

называется преобразованием Фурье функции

При этом имеется в виду, что а интеграл считается сходящимся в следующем смысле главного значения:

В таком случае многомерное преобразование Фурье (30) можно рассматривать как одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных

Тогда, когда функция абсолютно интегрируема, вопрос о том», в каком смысле понимается интеграл (30), очевидно, вообще не возникает.

Пусть — мультииндексы, состоящие из неотрицательных целых чисел , и пусть, как всегда, обозначает оператор дифференцирования порядка

Определение 6. Обозначим символом или, если не возникает недоразумений, символом совокупность всех функций удовлетворяющих условию

каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы . Такие функции называют быстро убывающими (при

Множество с алгебраическими операциями сложения функций и умножения функции на комплексное число, очевидно, является линейным пространством.

Пример 8. Функция где и все финитные функции класса входят в

Если то интеграл в соотношении (30), очевидно, сходится абсолютно и равномерно по I на всем пространстве Более того, если то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных Таким образом, если то

Пример 9. Найдем преобразование Фурье функции

При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно пользоваться теоремой Фубини и, если требуется, то можно беспрепятственно менять порядок несобственных интегрирований.

В данном случае, используя теорему Фубини и пример 4, находим

Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства преобразования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что преобразование Фурье применяется к функциям класса

b. Линейность.

Линейность преобразования Фурье очевидна: она следует из линейности интеграла.

c. Взаимоотношения оператора дифференцирования и преобразования Фурье.

Имеют место формулы

Первая из них получается, как и формула (28), интегрированием по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы Фубини, если речь идет о пространстве размерности

Формула (32) обобщает соотношение (29) и получается прямым дифференцированием интеграла параметрам Замечание 1. Ввиду очевидной оценки

из равенства (31) вытекает, что при какова бы ни была функция поскольку

Далее, совместное использование формул (31), (32) позволяет написать, что

откуда следует, что если , то при любых неотрицательных мультииндексах когда Таким образом, показано, что

d. Формула обращения.

Определение 7. Оператор определяемый (вместе с его сокращенным обозначением равенством

называется обратным преобразованием Фурье.

Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье.

что может бить переписано в сокращенных обозначениях

или в форме интеграла Фурье

Используя теорему Фубини, формулу (34) можно немедленно получить из соответствующей формулы (24) для одномерного преобразования Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое доказательство этой формулы.

Покажем сначала, что для любых функций справедливо соотношение

Оба интеграла имеют смысл, поскольку а по замечанию 1 тогда и

Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого равенства

Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений ввиду того, что — быстро убывающие функции. Итак, равенство (35) проверено.

Заметим теперь, что при любом

значит, в силу равенства (35)

Учитывая абсолютную и равномерную по сходимость крайних интегралов последней цепочки равенств, при получаем

Положим здесь . В примере 9 мы видели, что Остается вспомнить интеграл Эйлера—Пуассона чтобы с помощью теоремы Фубини заключить, что и в результате получить равенство

Замечание 2. В отличие от одного равенства означающего, что в соотношениях (34), (34) присутствует еще второе равенство — Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку

Замечание 3. Мы уже (см. замечание 1), если то а значит, и Из соотношения теперь заключаем, что и

е. Равенство Парсеваля.

Так принято называть соотношение

которое в развернутой форме означает, что

Из (36), в частности, следует, что

С геометрической точки зрения равенство (36) означает, что преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между функциями (векторами пространства и, значит, является изометрией пространства

Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение

которое получается из равенства (35), если положить там

Основное равенство Парсеваля (36) получается из соотношения (38), если в нем вместо написать и воспользоваться тем, что

f. Преобразование Фурье и свертка.

Имеют место следующие важные соотношения:

(называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.

Докажем формулы:

Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений, если

Формула (40) может быть получена аналогичной выкладкой, если воспользоваться формулой обращения Впрочем, равенство (40) можно вывести из уже доказанного соотношения (39), если вспомнить, что и что

В самом деле, из (39) следует, что

Подставляя сюда и учитывая, получаем равенство (40).

Замечание 4. Если в формулы (39), (40) подставить вместо и применить к обеим частям полученных равенств обратное преобразование Фурье, то придем к соотношениям