§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования

1. Теорема о конечном приращении.

Изучая числовые функции многих переменных, мы в гл. V, § 3, п. 1 доказали для них теорему о конечном приращении и подробно обсудили различные

аспекты этой важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический смысл нормы линейного оператора (см. § 2, п. 2).

Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть — непрерывное отображение открытого множества нормированного пространства X в нормированное пространство У.

Если отрезок полностью содержится в и отображение дифференцируемо во всех точках интервала то справедлива следующая оценка:

Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка нам удалось проверить неравенство

в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку то, пользуясь непрерывностью и нормы, а также тем, что

мы в пределе при получили бы неравенство (1).

Итак, будем доказывать неравенство (2). Для сокращения записи введем обозначения

Воспользуемся следующим элементарным соотношением:

справедливым для неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям

При неравенство (3) очевидно, значит, в силу однородности, оно справедливо и в общем случае.

Предположим теперь, что (2) не имеет места, т. е.

Тогда отрезок который мы позволим себе также обозначать символом разобьем пополам и получим два отрезка к соответствующие им приращения функции

В силу (3), (4) и (5)

Значит, по крайней мере для одного из двух полученных отрезков, который мы обозначим через будет выполнено неравенство

где — приращение функции на этом отрезке.

Разбивая отрезок пополам и повторяя дальше всю процедуру, мы получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и для каждого из которых выполнено неравенство типа (6). Нам известно, что все эти отрезки должны иметь некоторую общую точку

Проведя дополнительно разбиение каждого из отрезков точкой и вновь используя неравенство (3), получим последовательность отрезков, одним концом которых является точка а другие концы образуют последовательность стремящуюся к причем для каждого выполнено неравенство

Но дифференцируемо в , т. е.

при Значит, взяв так, что при достаточно больших значениях будем иметь

что несовместимо с неравенством (7). Таким образом, предположение (5) невозможно и теорема доказана.

Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически полезное

Следствие. Если т. е. А есть линейное непрерывное отображение нормированного пространства X в нормированное пространство — отображение, удовлетворяющее условиям теоремы о конечном приращении, то

Для доказательства достаточно применить теорему о конечном приращении к отображению

единичного отрезка [0, 1] с в ибо

Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях нет нужды требовать, чтобы было дифференцируемо как отображение достаточно, чтобы ограничение на отрезок было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым в точках интервала

Это замечание в равной степени относится и к доказанному только что следствию теоремы о конечном приращении.