§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
1. Теорема о конечном приращении.
Изучая числовые функции многих переменных, мы в гл. V, § 3, п. 1 доказали для них теорему о конечном приращении и подробно обсудили различные
аспекты этой важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический смысл нормы линейного оператора (см. § 2, п. 2).
Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть
— непрерывное отображение открытого множества
нормированного пространства X в нормированное пространство У.
Если отрезок
полностью содержится в
и отображение
дифференцируемо во всех точках интервала
то справедлива следующая оценка:
Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка
нам удалось проверить неравенство
в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку
то, пользуясь непрерывностью
и нормы, а также тем, что
мы в пределе при
получили бы неравенство (1).
Итак, будем доказывать неравенство (2). Для сокращения записи введем обозначения
Воспользуемся следующим элементарным соотношением:
справедливым для неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям
При
неравенство (3) очевидно, значит, в силу однородности, оно справедливо и в общем случае.
Предположим теперь, что (2) не имеет места, т. е.
Тогда отрезок
который мы позволим себе также обозначать символом
разобьем пополам и получим два отрезка
к соответствующие им приращения функции
В силу (3), (4) и (5)
Значит, по крайней мере для одного из двух полученных отрезков, который мы обозначим через
будет выполнено неравенство
где
— приращение функции на этом отрезке.
Разбивая отрезок
пополам и повторяя дальше всю процедуру, мы получим последовательность
вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и для каждого из которых выполнено неравенство типа (6). Нам известно, что все эти отрезки должны иметь некоторую общую точку
Проведя дополнительно разбиение каждого из отрезков
точкой
и вновь используя неравенство (3), получим последовательность отрезков, одним концом которых является точка
а другие концы образуют последовательность
стремящуюся к
причем для каждого
выполнено неравенство
Но
дифференцируемо в
, т. е.
при Значит, взяв
так, что
при достаточно больших значениях
будем иметь
что несовместимо с неравенством (7). Таким образом, предположение (5) невозможно и теорема доказана.
Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически полезное
Следствие. Если
т. е. А есть линейное непрерывное отображение нормированного пространства X в нормированное пространство
— отображение, удовлетворяющее условиям теоремы о конечном приращении, то
Для доказательства достаточно применить теорему о конечном приращении к отображению