3. Непрерывность и предельный переход.

Теорема 2. Пусть -семейство функций зависящих от параметра — база в Т. Если на X при базе и функции непрерывны в точке , то функция тоже непрерывна в этой точке.

В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий конкретный вид:

Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие теоремы 1 состоит именно в том, что

Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества X. На самом деле это может быть любое топологическое пространство лишь бы в X была определена база Значения функций могут лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из замечания 2, даже не обязано быть полным.

Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2. Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.

В качестве иллюстрации возможного использования полученных результатов рассмотрим

Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов.

Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждения 4 из § 2), приходим к заключению, что справедливо

Утверждение 1. Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится равномерно на отрезке

резке идущем из в точку и сумма ряда непрерывна на этом отрезке.

В частности, это означает, что если числовой ряд сходится, то степенной ряд 2 сходится равномерно на отрезке действительной оси и его сумма непрерывна на этом отрезке. Поскольку можно, таким образом, сказать, что если ряд сходится, то справедливо равенство

Интересно что в соотношении (9) правая часть порой может иметь смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его понимании является расходящимся. Например, ряду соответствует ряд который при сходится к функции При эта функция имеет предел 1/2.

Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если ряд в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, например, расходящемуся в традиционном смысле ряду метод Абеля сопоставляет естественную усредненную величину 1/2.

Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно найти в задачах

Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показали, что при имеет место разложение

Можно проверить, что при числовой ряд

сходится. Значит, по теореме Абеля, если ряд (10) сходится равномерно на отрезке Но функция непрерывна в точке поэтому можно утверждать, что если то равенство (10) имеет место и при

В частности, можно утверждать, что при

и этот ряд сходится к функции равномерно на отрезке 1-1.

Полагая в при получаем, что

и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции равномерно на отрезке

Таким образом, какую бы точность ни задать, найдется такой многочлен что

Вернемся теперь к общей теории.

Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равномерном предельном переходе. Условие равномерности предельного перехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому поводу примеры 8, 9 из § 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация, в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же следует, что эта сходимость является равномерной.

Утверждение 2 (теорема Дини). Если последовательность функций непрерывных на компакте монотонна и сходится к непрерывной функции то сходимость является равномерной на

Пусть для определенности стремятся к не убывая. Фиксируем произвольное и для любой точки найдем

такой номер что Поскольку функции непрерывны на неравенства останутся в силе и в некоторой окрестности точки Из покрытия компакта такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие и затем фиксировать номер шах Тогда при любом в силу неубывания последовательности будем иметь в любой точке

Следствие 3. Если члены ряда суть неотрицательные непрерывные на компакте функции ряд сходится на к непрерывной функции, то он сходится на равномерно.

Частичные суммы данного ряда удовлетворяют условиям теоремы Дини.

Пример 3. Покажем, что последовательность функций при сходится к функции равномерно на каждом отрезке лежащем в промежутке

Положим Тогда при . В самом деле, если то при так как если в то время как Итак, при любом фиксированном значении функция монотонно возрастает при Заметим теперь, что

Таким образом, на промежутке при . По теореме Дини отсюда следует, что указанная сходимость — является равномерной на каждом отрезке

Отметим, что при этом на промежутке равномерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция неограничена на нем, в то время как каждая из функций ограничена на этом промежутке (зависящей от константой).