§ 3. Общие свойства интеграла

1. Интеграл как линейный функционал.

Утверждение 1. а) Множество функций, интегрируемых по Риману на ограниченном множестве является линейным пространством относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на число.

Интеграл является линейным функционалом

Если учесть, что объединение множеств меры нуль также является множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает непосредственно из определения интеграла и критерия Лебега существования интеграла от функции, на промежутке.

Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом получаем линейность интеграла.

Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел интегральных сумм должен существовать при независимо от выбора отмеченных точек , то можно заключить, что почти всюду на

Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти во всех точках множества Е, то их интегралы по Е тоже совпадают. Значит, если профакторизовать линейное пространство относя в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех точках множества Е, то получится линейное пространство , на котором интеграл тоже будет линейным функционалом.