§ 3. Формула Тейлора и исследование экстремумов

1. Формула Тейлора для отображений.

Теорема 1. Если отображение окрестности точки х нормированного пространства X в нормированное пространство таково, что имеет в производные до порядка включительно, а в самой точке х имеет производи порядка то

Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений.

4 Докажем формулу Тейлора (1) по индукции.

При она верна в силу определения

Пусть формула (1) верна для некоторого

Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12) из § 5 и сделанного предположения индукции получаем

при

Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных, вариантах формулы Тейлора. В свое время они подробно обсуждались для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю (см., например, задачу 1).