2. Метрическое пространство C(K,Y).

Одной из наиболее естественных метрик на множестве функций непрерывных на компакте и принимающих значения в метрическом пространстве является следующая метрика равномерной сходимости

где , а максимум существует, так как — компакт. Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, на

Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из § 3 и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что метрическое пространство с метрикой равномерной сходимости является полным.

Напомним, что компактным подмножеством метрического пространства называется такое подмножество, из любой последовательности точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное метрическое пространство полное, то такая последовательность будет даже сходящейся.

Теорема Арцела — Асколи дает описание компактных подмножеств метрического пространства

Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств пространства Естественный интерес, который представляют такие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их, можно равномерно, т. е. со сколь угодно малой абсолютной погрешностью на всем аппроксимировать любую функцию непрерывную на

Пример 4. Классический результат Вейерштрасса, к которому мы будем еще не раз возвращаться и который обобщает приведенная ниже теорема Стоуна, состоит в следующем.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если то существует такая последовательность многочленов что на При этом, если то и многочлены можно выбрать из

На геометрическом языке это означает, например, что многочлены с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное подмножество в пространстве

Пример 5. Если теорема 2 требует все-таки нетривиального доказательства (оно дано ниже), то на основании равномерной непрерывности любой функции легко заключить, что множество кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке функций является всюду плотным подмножеством в

Замечание. Отметим, что если всюду плотно в всюду плотно в то в смысле той же метрики очевидно, будет всюду плотным в

Это означает, например, что для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке.