2. Коэффициенты Фурье.

a. Определение коэффициентов Фурье.

Рассмотрим линейное пространство X со скалярным произведением и с индуцированной им в X нормой (см. § 1 гл. X).

Пусть — ортонормированная система векторов в X. Определение 5. Числа называются коэффициентами Фурье вектора в ортонормированной системе

С геометрической точки зрения коэффициент Фурье вектора есть проекция этого вектора на направление единичного вектора . В знакомом случае трехмерного евклидова пространства с заданным в нем ортонормированным репером коэффициенты Фурье суть координаты вектора х в базисе возникающие в разложении

Если бы вместо трех векторов нам было дано только два то разложение по ним уже имело бы место далеко не для каждого вектора Тем не менее коэффициенты Фурье определены и в этом случае, а вектор в этом случае является ортогональной проекцией вектора х в плоскость векторов Среди всех векторов этой плоскости вектор наиболее близок вектору х в том смысле, что для любого вектора будет

Аналогичные свойства коэффициентов Фурье имеют место и в общем случае.

Лемма 1. Если система векторов пространства X ортонормирована, то для любого вектора вектор ортогонален плоскости векторов

Достаточно проверить, что для любого вектора нашей системы Но в самом деле

Таким образом, любой вектор допускает разложение

где — вектор плоскости порожденной системой векторов а вектор ортогонален плоскости т. е. ортогонален любому вектору вида

b. Аппроксимация вектора элементами подпространства.

Покажем теперь, что вектор является наилучшей аппроксимацией вектора элементами подпространства натянутого на векторы ортонормированной системы

Заметим сначала, что справедлива следующая

Лемма 2 (теорема Пифагора). Если векторы у и ортогональны, а , то

В самом деле,

Проверим теперь, что справедлива

Лемма 3 (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье). Если — ортонормированная система векторов (наделенного скалярным произведением линейного пространства X, то для любого вектора и любого вектора ахех имеет место неравенство

в котором равенство возможно только при условии, что для всех значений

Пусть Воспользовавшись леммой 1 и представлением (8), получаем, что где вектор ортогонален вектору лежащему в плоскости векторов Тогда по теореме Пифагора

Несколько отвлекаясь от нашей основной цели — изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что имеется произвольная система линейно независимых векторов в X и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора линейными комбинациями векторов системы.

Поскольку в плоскости порожденной векторами процессом ортогонализации можно построить также ортонормальную систему порождающую эту плоскость, то на основании леммы 3 можно заключить, что существует и притом единственный вектор такой, что

Поскольку вектор ортогонален, плоскости из равенства получаем систему уравнений

на коэффициенты разложения искомого вектора по векторам системы Существование и единственность решения этой системы, как отмечалось, следует из леммы 3 и независимости векторов . В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сделать вывод о необращении в нуль определителя этой системы. Иными словами, попутно доказано, что определитель Грама системы линейно независимых векторов не равен нулю.

Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система уравнений (10), как мы уже в свое время отмечали, возникает, например, при обработке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших квадратов (см. также задачу 1).

с) Неравенство Бесселя.

Лемма 4. а) Если векторы попарно ортогональны , то

Если система векторов ортонормальна и то

Первое утверждение является обобщением теоремы Пифагора и получается той же прямой выкладкой

Второе утверждение следует из первого, поскольку

Сопоставляя лемму 4 и разложение (8), получаем следующее важное

Утверждение 1 (неравенство Бесселя). Если система векторов ортонормальна в X, то для любого вектора справедливо следующее неравенство (Бесселя):

По лемме причем система векторов h-ортогональна в X. По лемме 4 тогда получаем, что

С геометрической точки зрения неравенство Бесселя, таким образом, означает, что если взять не все составляющие ортогонального разложения вектора, то, естественно, сумма квадратов их норм окажется во всяком случае не больше чем квадрат нормы самого вектора. Из доказательства также видно, что знак равенства в (11) возможен тогда и только тогда, когда

На практике часто приходится иметь дело с ортогональнымн, но не нормированными системами векторов При обсуждении леммы 3 мы отметили, что любой вектор может быть представлен в виде где вектор h ортогонален подпространству, натянутому на векторы . В случае ортогональности векторов коэффициенты этого разложения находятся совсем просто, поскольку, очевидно,

(сравните с системой (10)).

Определение 6. Числа называются коэффициентами Фурье вектора в ортогональной системе (векторов пространства X).

В случае, когда рассматриваемая ортогональная система еще и нормирована, мы, очевидно, возвращаемся к исходному определению 5 коэффициентов Фурье.

Полезно обратить внимание на вид неравенства Бесселя в случае произвольной ортогональной системы

Записав для вектора ортогональное разложение и воспользовавшись соотношениями (12), получаем,

т. e. справедливо следующее неравенство (Бесселя):

Слева в этом неравенстве (в отличие от случая ортонормированной системы и соответствующего ему неравенства стоят

не квадраты модулей коэффициентов Фурье а величины Отметим это переписав неравенство (13) в виде

Пример 6. В пространстве рассмотрим ортогональную систему примера 1. Пусть . В соответствии с определением 6 и соотношениями (4), коэффициенты Фурье функции в системе выражаются формулой

Из неравенства Бесселя (13) получаем теперь, что для любой функции и для любого выполнено неравенство

Пример 7. Аналогично, в соответствии с определением и соотношениями находим коэффициенты Фурье функции в ортогональной системе

Неравенство Бесселя в этом случае сводится к соотношению

справедливому при любом значении

Сравнивая равенства (14), (16), (17), с учетом формулы Эйлера, очевидно, получаем следующие соотношения между коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической системы, записанной в действительной и комплексной

формах:

Для того чтобы в формулах (16) и (19) случай не составлял исключения, принято (считая через обозначать не сам начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было нами сделано выше.

Отметим также, что коэффициенты вещественнозначной функции как видно из формул (16), (17), вещественны. В этом случае, следовательно, в неравенстве (18) можно всюду снять знак модуля.