2. Измеримые множества и гладкие отображения.

Лемма 1. Пусть — диффеоморфизм (класса открытого множества на такое же множество Тогда справедливы следующие утверждения:

Если — множество меры нуль (в смысле Лебега), то его образ также является множеством меры нуль.

Если множество содержащееся в вместе со своим замыканием имеет объем нуль (в смысле меры Жордана), то его образ содержится в вместе со своим замыканием и тоже имеет объем нуль.

Если измеримое (по Жордану) множество содержится в области вместе со своим замыканием то его образ является измеримым множеством и

Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество пространства можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить координатные оси на отрезки длины и рассмотреть соответствующее разбиение пространства на кубики с рами длины Фиксировав возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся в Обозначим через их объединение. Взяв далее добавим к те кубики нового разбиения, которые содержатся в Получим множество и т. д. Продолжая процесс, получим последовательность множеств, каждое из которых состоит из конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних точек и, как видно из построения,

Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом, достаточно проверить для множества лежащего в замкнутом промежутке Это мы и сделаем.

Поскольку то существует постоянная М такая, что на I. В силу теоремы о конечном приращении для любой пары точек и их образов должно тогда выполняться соотношение

Пусть теперь — такое покрытие множества промежутками, что . Без ограничения общности можно считать, что

Совокупность множеств очевидно, образует покрытие множества Если — центр промежутка то ввиду установленной выше оценки возможного изменения расстояний при отображении все множество можно накрыть таким промежутком с центром линейные элементы которого в М раз отличаются от соответствующих элементов промежутка Поскольку то мы получили покрытие множества промежутками, сумма объемов которых меньше чем Тем самым основное утверждение а) леммы доказано.

Утверждение следует из а), если учесть, что а значит, по доказанному и суть множества меры нуль в смысле Лебега и что а значит и — компакты. Ведь в силу леммы 3 § 1. всякий компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет объем нуль.

Наконец, утверждение с) получается непосредственно из если вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффеоморфизме внутренние точки множества перейдут во внутренние точки его образа а значит,

Следствие. При условиях теоремы стоящий в правой части формулы (3) интеграл существует.

Поскольку то — компакт в Значит, точки разрыва функции совсем не связаны с функцией а являются прообразами точек разрыва функции Но поэтому совокупность точек разрыва функции является множеством меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы множество имеет меру нуль. На основании критерия Лебега теперь можно заключить, что функция интегрируема на любом промежутке