§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии

1. Теорема Пуанкаре.

В этом параграфе будут дополнены ведения о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были изложены в гл. XIV, § 3 в связи с теорией векторных

полей в области пространства Как и прежде, символ будет означать пространство всех гладких вещественнозначных форм степени на гладком многообразии

Определение 1. Форма называется замкнутой, если

Определение 2. Форма называется точной, если существует такая форма

Множество всех замкнутых -форм на многообразии М обозначим через а множество всех точных -форм на М обозначим символом .

Для любой формы имеет место соотношение которое показывает, что . Нам уже известно из гл. XIV, § 3, что, вообще говоря, это включение является строгим.

Важный вопрос о разрешимости (относительно а) уравнения при выполнении необходимого условия на форму о) оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более полно сказанное будет расшифровано ниже.

Определение 3. Многообразие М будем называть стягиваемым (в точку или гомотопным точке, если существует такое гладкое отображение где что

Пример 1. Пространство стягивается в точку посредством отображения

Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая -форма на стягиваемом в точку многообразии М является точкой.

Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей «цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообразия М.

Рассмотрим «цилиндр». - прямое произведение М на единичный отрезок I, и два отображения отождествляющие М с основаниями цилиндра Тогда естественно возникают соответствующие отображения , которые сводятся к тому, что в форме из переменная заменяется значением , при этом, разумеется,

Построим линейный оператор , который на мономах определим следующим образом:

Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для любой формы о имеет место соотношение

Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все операторы линейны.

Если , то [члены без

и соотношение (1) справедливо.

Если , то Далее,

Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливо Пусть теперь М — стягиваемое в точку многообразие, — указанное в определении 3 отображение, -форма на М. Тогда, очевидно, — тождественное отображение, отображение М в точку поэтому Значит, в этом случае из (1) следует, что

Если к тому же — замкнутая форма на М, то, поскольку из (2) получаем, что

Таким образом, замкнутая форма со является внешним дифференциалом формы — точная форма на М.

Пример 2. Пусть А, В, С — гладкие вещественнозначные функции переменных Требуется решить относительно функций систему уравнений

Для совместности системы (3), очевидно, необходимо, чтобы функции А, В, С удовлетворяли соотношению

которое равносильно замкнутости в формы

Система (3) будет решена, если будет найдена такая форма

что

В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения А после простых вычислений получим

Можно и непосредственно проверить, что

Замечание. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей условию обычно довольно большой. Так, вместе с формой а любая форма вида очевидно, тоже будет удовлетворять этому же уравнению.

В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии М любые две формы , удовлетворяющие условию отличаются на точную форму. Действительно, т. е. форма — замкнутая на а значит, по теореме 1 она точная.