2. Постановка основных вопросов.

Предельный переход встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соответствующим свойством обладали допредельные функции. При этом особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при выполнении которых из сходимости функций следует сходимость производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу от предельной функции.

Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без каких-либо дополнительных условий соотношение на при вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной функции, даже при непрерывности функций ни соотношений или даже, если все указанные производные и интегралы определены.

Действительно, в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0, 1], хотя допредельные функции непрерывны на нем;

в примере 2 производные допредельных функций вообще не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной функции, которая в данном случае тождественно равна нулю;

в примере 4 при любом значении в то время как

в примере 5 каждая из функций равна нулю всюду, кроме конечного числа точек, поэтому на любом отрезке в то время как предельная функция вообще не интегрируема ни на каком отрезке числовой оси.

Вместе с тем:

в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные функции;

в примере 6 предел производных функции последовательности совпадает с производной от предельной функции этой последовательности;

в примере при

Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования законны.

Рассмотрим в этой связи еще

Пример 6. Мы знаем, что при любом

но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения

вообще говоря, нуждаются в проверке.

В самом деле, если равенство

понимать в том смысле, что где то соотношения

в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования равносильны равенствам

к которым мы теперь должны относиться с осторожностью.

В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, поскольку известно, что при любом

Однако представьте себе, что равенство (1) является определением функции Ведь именно так обстояло дело с определением функций для комплексных значений аргумента. Тогда нам нужно было бы свойства возникшей новой функцни (ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2), (3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пределом последовательности частичных сумм написанного ряда.

Главным понятием, помощью которого в § 3 будут получены достаточные условия законности указанных предельных переходов, является понятие равномерной сходимости.