3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.

Утверждение 6. Если:

a) функции непрерывны на множестве

b) интеграл сходится равномерно на множестве , а

c) интеграл сходится хотя бы при одном значении

то он сходится и даже равномерно на всем множестве К; при этом функция оказывается дифференцируемой и справедливо равенство

В силу условия а) при любом функция

определена и дифференцируема на промежутке и по правилу Лейбница

В силу условия семейство зависящих от параметра функций сходится равномерно на к функции при

По условию с) величина имеет предел при

Отсюда следует (см. теорему 4 § 3 гл. XVI), что само семейство функций сходится на равиомернб к предельной функции , когда при этом функция оказывается дифференцируемой на промежутке и имеет место равенство . Но это как раз то, что и требовалось доказать.

Пример 12. При фиксированном значении интеграл

сходится равномерно относительно параметра любом промежутке вида это следует из оценки справедливой при всех достаточно больших значениях

Значит, по утверждению функция

бесконечно дифференцируема при и

поэтому следовательно, можно заключить, Что

В частности, при получаем

Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле

Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при

поскольку интеграл (11) сходится равномерно на любом множестве вида

Интеграл (11) легко вычисляется через первообразную подынтегральной функции и получается, что

откуда следует, что

При как видно из соотношения (9), поэтому из (12) следует, что Теперь из (10) и (12) получается, что Итак,

Заметим, что использованное при выводе равенства (13) соотношение при не является прямым следствием утверждения 4, поскольку при лишь на промежутках вида а на промежутках вида равномерной сходимости нет: ведь 1 при

и, если задано то сначала выберем столь близко к нулю, что при и

при любом , а затем, фиксировав на основании утверждения 4, устремляя у к сделаем интеграл по промежутку тоже по модулю меньшим чем