2. Формула Гаусса — Остроградского.

Подобно тому, как формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соответствующим интегралом по самой области, приводимая ниже формула Гаусса—Остроградского связывает интеграл по границе пространственной области с интегралом по самой области.

Рис. 89

Утверждение 2. Пусть — пространство с фиксированной в нем системой координат — компактная область ограниченная кусочно гладкими поверхностями, — функции, гладкие в замкнутой области

Тогда имеет место соотношение

Вывод формулы (6) Гаусса—Остроградского можно провести шаг за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина. Чтобы это повторение не было дословным, рассмотри сразу не кубик в а область изображенную на рис. 89 которая ограничена боковой цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси и двумя шапочками графиками кусочно гладких функций определенных в одной и той же области Проверим, что для области

выполнено соотношение

Поверхности имеют соответственно следующее параметрическое представление:

Криволинейные координаты на задают ориентацию, противоположную той, которая индуцируется ориентацией области а на — такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией Значит, если считать частями ориентированной указанным в утверждении 2 образом границы области то последние два интеграла (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно как интегралы по от формы

Цилиндрическая поверхность имеет параметрическое представление вида , поэтому сужение формы на равно нулю, как, следовательно, и интеграл от этой формы по

Таким образом, для области соотношение (7) действительно имеет место.

Если ориентированную область можно разрезать на конеч ное число областей типа области то, поскольку на поверхности, по которым примыкают друг к другу две такие области, индуцируются противоположные ориентации, при сложении интегралов по границам произойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь интеграл по ориентированной границе исходной области

Следовательно, формула (7) верна и для допускающих указанное разбиение на области типа области

Аналогично можно ввести области цилиндрические поверхности которых имеют образующие, параллельные осям соответственно, и показать, что если некоторую область можно разрезать на области вида или то для соответственно

имеют место соотношения

Итак, если — простая область, т. е. область, допускающая каждое из трех указанных выше разбиений на области типа то, складывая равенства (7), (8), (9), получаем для равенство (6).

В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не будем сейчас заниматься описанием условий простоты области и дальнейшим уточнением доказанного (см. - по этому поводу задачу 8).

Отметим, однако, что на языке форм в бескоординатном виде формулу Гаусса — Остроградского можно записать следующим образом:

где — гладкая -форма в области

Поскольку для кубика формула (6), как было показано, верна, то ее распространение на более общие классы областей, конечно, можно провести с помощью стандартных выкладок (4) и (5).

Пример 3. Закон Архимеда. Вычислим результирующую силу давления однородной жидкости на погруженное в нее тело

Декартовы координаты выберем так, чтобы плоскость совпадала с поверхностью жидкости, а ось направим в сторону выхода из жидкости. На элемент площади поверхности тела находящейся на глубине действует сила давления где — плотность жидкости, — ускорение силы тяжести, а — единичная внешняя нормаль к поверхности в соответствующей элементу точке поверхности. Значит, искомая результирующая сила выражается интегралом

Если то § 2, n. 4) Используя формулу (6) Гаусса—Остроградского, находим, таким образом, что

где V — объем тела а значит, вес жидкости в объеме, занимаемом телом. Мы пришли к закону Архимеда:

Пример 4. Используя формулу (6) Гаусса—Остроградского, можно дать следующие формулы для объема тела ограниченного поверхностью