7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах.

a. Замена переменных при отображениях измеримых множеств.

Утверждение 1. Пусть — диффеоморфизм открытого ограниченного множества на такое множество — подмножества соответственно, причем такие, что Если то и имеет место равенство

Действительно,

В этой выкладке мы использовали определение интеграла по множеству, формулу 3 и то обстоятельство, что

b. Инвариантность интеграла.

Напомним, что интеграл по множеству Е от функции сводится к вычислению интеграла от функции по промежутку Но сам промежуток I был по определению связан с системой декартовых координат в . Теперь мы в состоянии доказать

Утверждение 2. Величина интеграла от функции по множеству не зависит от выбора декартовых координат в

Действительно, переход от одной системы декартовых координат в к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю

равный единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство

Но это и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если — точка множества — ее координаты в первой системе, — во второй, а — функция перехода от одних координат к другим, то

где Значит, мы показали, что

где — запись множества в системе координат соответственно.

Из утверждения 2 и определения 3 § 2 меры (Жордана) множества можно заключить, что эта мера не зависит от выбора системы декартовых координат в или, что то же самое, мера Жордана инвариантна относительно группы движений евклидова пространства

с. Пренебрежимые множества.

Используемые на практике замены переменных. или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на множествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полезна следующая

Теорема 2. Пусть — отображение измеримого (по Жордану) множества на такое же множество Предположим, что в можно указать такие множества меры нуль (в смысле Лебега), что — открытые множества, а отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом первое из них на второе. Тогда для любой функции также и

Если, кроме того, величина определена и ограничена в то

По критерию Лебега функция может иметь разрывы в а значит, и в лишь на множестве меры нуль. Образ

этого множества точек разрыва при отображении по лемме 1 является множеством меры нуль в Таким образом, соотношение будет немедленно следовать из того же критерия Лебега интегрируемости функции, если мы. установим, что множество измеримо. То, что это действительное измеримое по Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже рассуждений.

По условию — открытое множество, поэтому значит, и, следовательно, где — замыкание в множества Получается, что есть замкнутое ограниченное множество,

т. е. компакт в который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 § 1 нам известно, что тогда множество (а вместе с ним и S имеет объем нуль, т. е. для любого найдется такое конечное покрытие этого множества промежутками, что Отсюда, в частности, следует, что множество (и аналогично множество измеримо по Жордану: ведь

Покрытие очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы любая точка была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия. Пусть

Множество измеримо, как и множество По построению множество таково, что и для любого измеримого множества которое содержит компакт справедлива оценка

где

Прообраз компакта является компактом в Рассуждая, как и выше, можно построить измеримый компакт подчиненный условиям и обладающий тем свойством, что для любого измеримого множества такого, что выполняется оценка

Пусть теперь Для множеств по утверждению 1 имеет место формула (9). Сопоставляя соотношения (9), (12), (13) и учитывая произвольность величины получаем равенство (10).

Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция определена на всем множестве то, поскольку открыто в все множество точек разрыва этой функции на состоит из множества А точек разрыва функции (сужения исходной функции на множество и, быть может, некоторого подмножества В множества

Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства (10) существует), а поскольку имеет объем нуль, то это же можно сказать про множество В. Значит, достаточно знать, что функция ограничена на как по критерию Лебега получится, что она интегрируема на Но на поэтому функция ограничена на коль скоро функция по условию ограничена на . Что же касается множества то на нем функция интегрируема и, значит, ограничена. Итак, функция интегрируема на Но множества отличаются лишь на измеримое множество объем которого, как было показано, равен нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль интеграла по можно заключить, что правые части равенств (10) и (11) в рассматриваемом случае действительно совпадают.

Пример. Отображение прямоугольника на круг задаваемое формулами

не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника на которой переходит при этом отображении в одну точку (0, 0); образы точек совпадают. Однако если рассмотреть, например, множества где Е — объединение границы круга и радиуса, идущего в точку то сужение отображения (14) на область окажется ее диффеоморфизмом на область Значит, по теореме 2 для любой функции можно написать, что

или, применяя теорему Фубини,

Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости.

Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей полярной (сферической) системе координат в которую мы рассматривали в части I, где был указан также якобиан перехода от полярных координат к декартовым в пространстве любой размерности.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)