ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R^n

В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности, согласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для вычисления площади поверхности, лежащей в а также даны начальные представления о дифференциальных формах. Владение перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава.

§ 1. Поверхность в R^n

Определение 1. Поверхностью размерности (-мерной поверхностью или -мерным многообразием) в называется такое множество с каждая точка которого имеет в окрестность, гомеоморфную

Определение 2. Отображение осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется картой или локальной картой поверхности — областью параметров, районом или областью действия карты на поверхности

Локальная карта вводит в криволинейные координаты, сопоставляя точке числовой набор

Из определения поверхности видно, что совокупность описываемых им объектов не изменится, если в нем заменить любым гомеоморфным топологическим пространством. Чаще всего вместо за стандартную область параметров локальных карт

принимают открытый куб или открытый шар Но это чистая условность. Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать куб Р.

Итак, карта

локально дает параметрическое уравнение поверхности с: а сама -мерная поверхность, таким образом, локально устроена как продеформированный стандартный -мерный промежуток

Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, параметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность обычно называют элементарной. Например, график в непрерывной функции является элементарной поверхностью. Однако элементарность поверхности скорее исключение, чем правило. Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа).

В соответствии с возникшей аналогией примем

Определение 3. Набор локальных карт поверхности районы действия которых в совокупности покрывают всю поверхность т. е. называется атласом поверхности

Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно, тоже является атласом этой поверхности.

Если на отображения (1) — локальные параметрические уравнения поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в может оказаться расположенной весьма странно. Например, может случиться, что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически — сфера, лежит в но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару (так называемая рогатая сфера).

Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. VIII, § 7. определили гладкую -мерную поверхность, лежащую в как такое множество что для каждой точки найдутся ее окрестность в и диффеоморфизм

при котором множество преобразуется в куб

Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения очевидно, задают локальную параметризацию поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, даже если просто гомеоморфизмы. Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле совпадают.

По существу, это уже было показано в примере 8 из § 7 гл. VIII, но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и напомним, как получается ответ.

Утверждение. Если отображение (1) принадлежит классу и в каждой точке куба Р имеет максимально возможный ранг то найдутся число и такой диффеоморфизм куба размерности в пространство что

Иными словами, утверждается, что при указанных условиях отображения (1) локально являются сужениями на -мерные кубы диффеоморфизмов полномерных кубов

Положим для определенности, что уже первые из координатных функций отображения таковы, что Тогда в силу теоремы о неявной функции соотношения

около точки эквивалентны соотношениям

В таком случае отображение

является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки В качестве можно теперь взять сужение обратного к нему диффеоморфизма на некоторый куб

Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в последнем диффеоморфизме было а куб был единичным.

Итак, показано, что для гладкой поверхности в можно принять следующее эквивалентное прежнему

Определение 4. Поверхность размерности в (введенная определением 1) называется гладкой (класса если она обладает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса отображениями и в каждой точке области своего определения имеют ранг

Заметим, что условие на ранг отображений (1) существенно. Например, аналитическое отображение задаваемое формулами определяет кривую в плоскости имеющую острие в точке (0, 0). Ясно, что эта кривая не является гладкой -мерной поверхностью в ибо последняя должна иметь касательную (-мерную касательную плоскость) в любой точке.

Таким образом, в частности, не следует смешивать понятие гладкого пути класса и понятие гладкой кривой класса

В анализе, как правило, имеют, дело с достаточно гладкими параметризациями (1) ранга Мы убедились, что в этом случае принятое здесь определение 4 гладкой поверхности совпадает с уже рассмотренным в гл. VIII, § 7. Однако если прежнее определение было наглядным и сразу избавляло от некоторых лишних хлопот, то известное преимущество определения 4, согласованного с определением 1 поверхности, состоит в том, что оно с легкостью может быть доведено до определения абстрактного многообразия, не обязательно лежащего в Здесь же нас будут интересовать пока только поверхности в

Рассмотрим некоторые примеры таких поверхностей.

Пример 1. Напомним, что если такой набор гладких функций, что система уравнений

в любой точке множества своих решений имеет ранг то эта система либо вовсе не имеет решений, либо в качестве множества решений имеет -мерную -гладкую поверхность

Проверим, что если то действительно удовлетворяет определению 4. Это вытекает из теоремы о неявной функции, в силу которой в некоторой окрестности любой точки система (2), с точностью до переобозначения переменных, эквивалентна системе

где Записывая последнюю систему в виде

приходим к параметрическому уравнению окрестности точки на Дополнительным преобразованием область параметров, очевидно, можно превратить в каноническую, например в и получить стандартную локальную карту (1).

Пример 2. В частности, задаваемая в уравнением

сфера есть -мерная гладкая поверхность в поскольку множество решений уравнения (3), очевидно, непусто и в любой точке 5 градиент левой части уравнения (3) отличен от нуля.

При получаем в окружность

которую легко локально параметризовать полярным углом используя полярные координаты

Отображение при фиксированном значении является диффеоморфизмом на любом промежутке вида и двух карт (например, отвечающих значениям достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической картой (1) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность — компакт, в отличие или а свойство топологического пространства быть компактом инвариантно относительно топологических преобразований.

Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и для параметризации двумерной сферы

Обозначая через угол между направлением вектора и направлением а через — полярный угол проекции радиус-вектора на плоскость получаем

В общем случае полярные координаты вводятся соотношениями

Напомним якобиан

перехода (4) от общих полярных координат к декартовым координатам Из выражения якобиана видно, что ой отличен от нуля, если, например,

Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл параметров можно гарантировать, что при фиксированном отображение как сужение локального диффеоморфизма само локально диффеоморфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных преобразований поэтому отсюда уже следует возможность построения локальной карты для окрестности любой точки сферы.

Пример 3. Цилиндр

при есть -мерная поверхность в являющаяся прямым произведением -мерной сферы плоскости переменных плоскости переменных

Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может быть получена, если в качестве первых из параметров взять полярные координаты точки -мерной сферы положить равными соответственно.

Пример 4. Если в плоскости пространства наделенного декартовыми координатами , взять кривую (-мерную поверхность), не пересекающую ось и вращать ее относительно оси то получится -мерная поверхность, в качестве локальных координат которой можно принять локальные координаты исходной кривой (меридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на параллели).

В частности, если в качестве исходной кривой взять окружность радиуса а с центром в точке , то при получим двумерный тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено в виде

где — угловой параметр на исходной окружности — меридиане, а — угловой параметр на лараллели.

Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором).

Рис. 69.

Рис. 70.

Как видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей. Поскольку окружность получается из отрезка склеиванием (отождествлением) его концов, тор можно получить из прямого произведения отрезков, т. е. из прямоугольника, склеиванием противоположных сторон прямоугольника по соответствующим точкам (рис. 70).

В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда установили, что конфигурационное пространство двойного маятника является двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе.

Рис. 71

Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по стрелкам, указанным на рис. 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или цилиндрическую поверхность (рис. что с топологической точки зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны).

Рис. 72.

Рис. 73

Если же ленту склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в поверхность (рис. 72, b), называемую в математике листом Мёбиуса.

Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный прямоугольник.

Пример 6. Сопоставляя изложенное в примерах 4 и ,5, поддавшись естественной аналогии, можно теперь предписать склейку прямоугольника (рис. 73, с), объединяющую в себе и элементы тора и элементы листа Мёбиуса. Но подобно тому, как лист Мёбиуса нельзя было склеить без разрывов или самопересечений, не выходя За пределы плоскости так и предписанную склейку не удастся выполнить в Однако в это уже можно сделать и в результате получить в поверхность, которую принято называть

бутылкой Клейна. Попытка изобразить эту поверхность предпринята на рис. 73, Ь.

Последний пример дает некоторое представление о том, поверхность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в определенном пространстве Более того, многие важные поверхности (различной размерности) первоначально возникают не как подмножества а, например, как фазовые пространства механических систем, как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как фактор-пространства относительно групп автоморфизмов исходного пространства, и так далее, и тому подобное. Мы ограничимся пока этими первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. XV, где будет дано общее определение поверхности, не обязательно лежащей в Но уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим, что, согласно известной теореме Уитни любую -мерную поверхность можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую в пространстве Значит, рассматривая поверхности в мы на самом-то деле ничего не теряем с точки зрения их топологического разнообразия и классификации. Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне от наших скромных потребностей в геометрии.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)