§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях

1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения).

Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом На воздействие Иными словами, каждый такой прибор или

система является оператором А, преобразующим входной сигнал в сигнал на выходе Разумеется, у каждого такого оператора своя область воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на них (область значений). Удобной математической моделью для большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный оператор А, сохраняющий сдвиги.

Определение 1. Пусть А — линейный оператор, действующий на линейном пространстве определенных на вещественно- или комплекснозначных функций. Обозначим через оператор сдвига, действующий на том же пространстве по закону

Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или сохраняет сдвиги), если для любой функции из области определения оператора А справедливо равенство

Если — время, то соотношение можно трактовать как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во времени: реакции прибора на сигналы отличаются только сдвигом на по времени и больше ничем.

Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи: во-первых, предугадать реакцию прибора на произвольное входное воздействие и, во-вторых, зная сигнал на выходе прибора, определить, если это возможно, поступивший на прибор бходной сигнал

Рис. 100.

Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух задач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному оператору А. Простой, но очень важный факт состоит в том, что оказывается для описания отклика такого прибора А на любой входной сигнал достаточйа знать отклик Е прибора А на импульсное воздействие 8.

Определение 2. Отклик прибора А на единичное импульсное воздействие называют аппаратной функцией прибора (в оптике) или импульсной переходной функцией прибора (в электротехнике).

Мы будем, как правило, пользоваться более коротким термином «аппаратная функция».

Не вдаваясь пока в детали, скажем, что импульс имитируется, например, функцией изображенной на рис. 100, причем эта имитация считается все более точной по мере уменьшения

длительности а «импульса» при сохранении его общей «энергии» . Вместо ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий:

где произвольная окрестность точки

Откликом прибора А на идеальный единичны» импульс (обозначаемый вслед за Дираком через б) следует считать функцию к которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс входные сигналы по мере того, как эта имитация улучшается.

Рис. 101

Рис. 102

Разумеется при этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность оператора А, т. е. непрерывность изменения отклика прибора при непрерывном изменении входного воздействия

Например, если взять последовательность ступенчатых функций (рис. 100), то, полагая получаем

Рассмотрим теперь входной сигнал рис. 102 и изображенную на этом же рисунке кусочно постоянную функцию . Поскольку при то надо

Но если оператор А — линейный и сохраняющий сдвиги, то

где Таким образом, при окончательно получаем

Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. Она представляет отклик прибора в виде специального

интеграла, зависящего от параметра Этот интеграл полностью определяется входным сигналом и аппаратной функцией прибора А. С математической точки зрения прибор А и интеграл (1) просто одно и то же.

Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по выходу сводится теперь к решению относительно интегрального уравнения (1).

Определение 3. Сверткой функций называется функция определяемая соотношением

в предположении, что указанный несобственный интеграл существует при всех .

Таким образом, формула (1) утверждает, что отклик линейного прибора А, сохраняющего сдвиги, входное воздействие, задаваемое функцией является сверткой функции и аппаратной функции Е прибора А.