§ 3. Компакты

1. Определение и общие свойства компакта.

Определение 1. Множество в топологическом пространстве называется компактом (бикомпактом), если из любого покрытия множествами, открытыми в X, можно выделить конечное покрытие

Пример 1. Отрезок множества действительных чисел, рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом, что немедленно вытекает из доказанной в гл. II, § 1, п. 3 леммы о возможности выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами.

И Вообще -мерный промежуток является компактом, что было установлено в гл. VII, §

В гл. VII, § 1, п. 3 было доказано также, что подмножество является компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и ограничено.

В отличие от относительных свойств множества быть открытым или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлющего пространства. Точнее, имеет место следующее

Утверждение 1. Подмножество топологического пространства является компактом в X тогда и только тогда, когда является компактом в себе как в топологическом пространстве с индуцированной из топологией.

Сформулированное утверждение следует из определения компакта и того обстоятельства, что каждое множество

открытое в получается пересечением с некоторым множеством открытым в X.

Таким образом, если — два топологических пространства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве то одновременно компактно или нет как в X, так и в

Пример 2. Пусть — стандартная метрика на — единичный интервал в Метрическое пространство замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например, оно не является компактом в Установим теперь важнейшие свойства компактов.

Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если — компакт в хаусдорфовом пространстве то — замкнутое подмножество X.

В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить, что любая предельная для точка принадлежит

Пусть Для каждой точки построим такую ее открытую окрестность что обладает окрестностью, не пересекающейся с Совокупность всех таких окрестностей образует открытое покрытие из которого выделяется конечное покрытие Если теперь такая окрестность точки что то множество также является окрестностью точки причем при любом Но это означает, что не может быть предельной точкой для . Лемма 2 (о вложенных компактах). Если — последовательность непустых вложенных компактов, то пересечение непусто.

В силу леммы 1 множества открыты в Если пересечение пусто, то последовательность в совокупности образует покрытие Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент последовательности уже покрывает 0%. Но по условию Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2.

Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое подмножество компакта само является компактом.

Пусть открытое покрытие Добавив к нему открытое множество получим открытое покрытие всего компакта Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие

. Поскольку то, значит, из системы выделяется конечное покрытие множества