2. Гладкие многообразия и гладкие отображения.

Определение 7. Атлас многообразия называется гладким (класса или аналитическим), если все функции замены координат для карт данного атласа являются гладкими отображениями (диффеоморфизмами) соответствующего класса гладкости.

Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости.

Пример 11. Атлас, состоящий из единственной карты, можно считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой один атлас, порожденный тождественным отображением а другой атлас, порожденный любой строго монотонной функцией отображающей на Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наименьшую из гладкостей функций

В частности, если то атлас из карт не является гладким, так как Используя сказанное, можно построить на бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом наперед заданного класса гладкости

Определение 8. Гладким многообразием (класса аналитическим) называется многообразие М с заданным на М классом эквивалентности атласов данной гладкости.

После этого определения понятна следующая терминология: топологическое многообразие (класса многообразие класса аналитическое многообразие.

Для того чтобы задать весь класс эквивалентности атласов данной гладкости на многообразии достаточно задать любой атлас А из этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что гладкое многообразие есть пара , где М — многообразие, атлас данной гладкости на М.

Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на многообразии часто называют структурой данной гладкости на многообразии. На одном и том же топологическом многообразии могут существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости (см. пример 11 и задачу 3).

Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основное внимание на гладкость функций замены координат.

Пример 12. Одномерное многообразие называемое вещественной проективной прямой, есть пучок прямых в проходящих через начало координат, с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми). Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направляющим вектором причем два таких вектора задают одну и ту же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны. Значит, можно рассматривать как совокупность классов эквивалентных упорядоченных пар вещественных чисел. При этом по крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля и две пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропорциональны. Пары обычно называют однородными координатами на Используя интерпретацию в однородных координатах, легко построить атлас из двух карт на Пусть прямые (классы пар из для которых . Каждой точке (прямой) взаимно однозначно соответствует пара определяемая числом Аналогично точки района находятся во взаимно однозначном соответствии с парами вида и задаются одним числом Таким образом, в и возникают локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной выше в топологии. В общей области действия построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношениями показывающими, что построенный атлас принадлежит не только классу но даже является аналитическим.

Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию многообразия Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точками окружности. Близость прямых равносильна близости соответствующих пар точек окружности. Значит, можно интерпретировать как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек — концы полуокружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность. Таким образом, как топологическое пространство гомеоморфно окружности.

Пример 13. Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходящих через начало координат в или, что то же самое, совокупность классов пропорциональных упорядоченных троек вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно

временно, то мы получим вещественную проективную плоскость . В районах где соответственно , вводятся локальные системы координат которые, очевидно, связаны между собой соотношениями относящимся к общим частям районов действия локальных карт.

Например, переход от координат к координатам в области выражается формулами

Якобиан этого преобразования равен — и, поскольку определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам рассматриваемого множества

Итак, — двумерное многообразие, обладающее аналитическим атласом из трех карт.

По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рассмотрена проективная прямая проективную плоскость можно интерпретировать как двумерную сферу с отождествленными диаметрально противоположными точками или как полусферу с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем возможность интерпретировать как круг (двумерный диск) с отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной окружности.

Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости можно разбить на два множества: — невертикальныё прямые, V — негоризонтальные прямые. Каждая прямая из имеет уравнение вида и тем самым характеризуется координатами в то время кагк любая прямая из V имеет уравнение и задается координатами Для кривых из пересечения действуют функции преобразования координат Таким образом, рассматриваемое множество наделяется аналитическим атласом из двух карт.

Любая прямая на плоскости имеет уравнение и характеризуется тройкой чисел , причем пропорциональные тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь мы вновь имеем дело с проективной плоскостью рассмотренной в примере 13. Однако если в допускались любые тройки чисел, не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки вида , где Всем таким тройкам в отвечает одна и та же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие, гомеоморфно тому, что

получается удалением из одной точки. Если интерпретировать как круг с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр круга, мы с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя окружность которого склеивается по диаметрально противоположным точкам. Простым разрезанием легко показать, что при этом получается не что иное, как знакомый лист Мёбиуса.

Определение 9. Пусть М и — гладкие многообразия класса Отображение называется -гладким (класса если локальные координаты точки являются функциями класса от локальных координат точки же М.

Приведенное определение имеет смысл и корректно (не зависит от выбора локальной карты), если

В частности, гладкие отображения М в — это гладкие функции на М, а гладкие отображения (или промежутка в М — это гладкие пути на М.

Итак, степень гладкости функции на многообразии М не может превышать степени гладкости самого многообразия.