2. Условия коммутирования двух предельных переходов.

Теорема 1. Пусть — семейство функций зависящих от параметра — база в — база в Т. Если при базе семейство сходится равномерно на X к функции при каждом существует предел то существуют оба повторных предела

и имеет место равенство

Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы:

в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю их следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна, т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по нижней ее стороне.

Докажем сформулированную теорему.

Поскольку на X при базе по критерию Коши для любого найдется такой элемент базы что при любых и любом будет выполнено неравенство

Переходя в этом неравенстве к пределу по базе получим соотношение

справедливое для любых Вт. По критерию Коши сущест: вования предела функции отсюда следует, что функция имеет некоторый предел А по базе . Проверим теперь, что

Фиксировав найдем такой элемент базы что при любом имеет место неравенство

Не меняя совершим в (4) и (5) предельный переход по базе относительно параметра Тогда получим, что

причем неравенство справедливо при любом .

Сопоставляя соотношения пользуясь неравенством треугольника, получаем, что

при любом Тем самым проверено, что

Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, теорема 1 остается в силе для функций со значениями в любвм полном метрическом пространстве

Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование существования предела то, как видно из доказательства, равенство можно получить, даже не предполагая полноту пространства значений функций