2. Векторные поля и формы в R^3.
Напомним, что в евклидовом векторном пространстве 
со скалярным произведением 
между линейными функциями 
и векторами 
имеется соответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид 
, где А — вполне определенный вектор из 
Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная функция В: 
однозначно записывается в виде 
где В — некоторый, вполне определенный вектор из 
как всегда, — смешанное произведение векторов 
или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном пространстве 
с каждым его вектором можно указанным способом
связать линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной формы равносильно заданию соответствующего ректора в 
Если в 
имеется скалярное произведение, то оно естественным образом возникает и в любом касательном пространстве 
состоящем из векторов, приложенных к точке 
а ориентация 
ориентирует каждое пространство 
Значит, если в 
задать 
-форму 
или 
-форму 
то при перечисленных условиях это равносильно заданию в 
некоторого вектора 
соответствующего форме 
или вектора 
отвечающего форме 
Следовательно, задание в некоторой области 
ориентированного евклидова пространства 
-формы 
или 
-формы 
равносильно заданию в 
соответствующего форме векторного поля А или В.
В явном виде это соответствие состоит в том, что
где
Мы видим уже знакомые нам форму работы 
векторного поля А и форму потока 
векторного поля В.,
Скалярному полю 
можно следующим образом сопоставить 
-форму и 
-форму в 
где 
— элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидовом пространстве 
Ввиду соответствий 
операциям над формами отвечают определенные операции над векторными и скалярными полями. Это наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно.
Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степени отвечает линшная комбинация соответствующих им векторных или скалярных полей.
4 Утверждение 1 очевидно. Приведем, однако, например, для 
-форм цолную запись доказательства:
Из доказательства видно, что 
можно считать функциями (не обязательно постоянными) в области 
задания форм и полей.
Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми символами 
скалярное и векторное произведения векторов А и В в 
когда это будет удобно, обозначать соответственно через А В к 
Утверждение 2. Если 
— векторные поля в евклидовом ориентированном пространстве 
то
Иными словами, внешнему произведению 
-форм, порожденных полями 
отвечает векторное произведение. 
этих полей, поскольку именно оно порождает получаемую в результате 
-форму.
В этом же смысле внешнему произведению 
-формы а а и 
-формы 
порожденных векторными полями А и В соответственно отвечает скалярное произведение 
этих полей.
Для доказательства фиксируем в 
ортонормированный базис и отвечающую ему декартову систему координат 
. В декартовых координатах
т. е.
и
т. е.
Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8), получаем
где 
Координаты были использованы при доказательстве лишь для того, чтобы проще было найти вектор В соответствующей 
-формы. Само же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит. Аналогично, перемножив равенства (7) и (8), получим
есть форма объема в 
а стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений координат векторов А и В есть скалярное произведение этих векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что 
