2. Метрические компакты.
Далее мы установим некоторые свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, являющихся компактами, как топологические пространства с топологией, индуцированной метрикой.
Определение 2. Говорят, что множество 
является 
-сетью в метрическом пространстве 
если для любой точки 
найдется точка 
такая, что 
.
Лемма 4 (о конечной 
-сети). Если метрическое пространство 
— компакт, то для любого 
в нем имеется конечная 
-сеть,
Для каждой точки 
берем открытый шар 
. Из открытого покрытия 
этими шарами выделяем конечное покрытие 
. Точки 
очевидно, образуют искомую 
-сеть.
Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произвольной последовательности извлекают сходящуюся подпоследовательность. Оказывается справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метрическое пространство 
является компактом в том и только в том случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из 
Сходимость последовательности 
к некоторой точке а 
как и прежде, означает, что для любой окрестности 
точки найдется номер 
такой, что при 
будем иметь 
Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в § 6.
Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы.
Лемма 5. Если метрическое пространство 
таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в 
подпоследовательность, то для любого 
имеется конечная 
-сеть.
Если бы для некоторого 
не было конечной 
-сети, то в 
можно построить последовательность 
точек так, что 
при любом 
и любом значении 
Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
Лемма 6. Если метрическое пространство 
таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в 
подпоследовательность, то любая последовательность сложенмых замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет непустое пересечение.
Если 
— указанная последовательность замкнутых в 
множеств, то, взяв в каждом из них по точке,
получим последовательность 
из которой извлечем сходящуюся подпоследовательность Ее предел по построению обязан принадлежать каждому из замкнутых множеств 
Теперь докажем утверждение 2.
Сначала проверим, что если 
— компакт, а 
— последовательность его точек, то из неег можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке 
Если последовательность 
имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно, поэтому можем считать, что последовательность 
имеет бесконечно много различных значений. Для 
конечную 
-сеть и берем тот замкнутый шар 
который содержит бесконечное число членов последовательности. По лемме 3 шар 
сам является компактом, в котором существует конечная 
сеть и ее шар 
, содержащий бесконечно много элементов последовательности. Так возникает последовательность 
вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую точку Выбирая в шаре 
точку 
последовательности, затем в шаре 
точку 
последовательности с номером 
получим подпоследовательность 
которая по построению сходится к а.
Докажем теперь обратное утверждение, т. е. проверим, что если из любой последовательности 
точек метрического пространства 
можно выделить сходящуюся в 
подпоследовательность, то 
— компакт.
В самом деле, если из некоторога открытого покрытия 
пространства 
нельзя выделить конечное покрытие; то, построив в силу леммы 5 конечную 
-сеть в 
найдем замкнутый шар 
, который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы 
Этот шар 
теперь можно считать исходным множеством и, построив в нем конечную 
-сеть, найти в нем шар 
, который не допускает конечного покрытия множествами системы 
Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых множеств 
в силу 
имеет, и как видно из построения, только одну общуй точку 
, Эта точка покрыта некоторым множеством 
вашей системы, и, поскольку 
открыто, все множества 
при достаточно больших значениях 
должны лежать в 
Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 2.
