4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.

Утверждение 7. Если:

функция непрерывна на множестве

интеграл сходится равномерно на промежутке

то функция интегрируема на и справедливо равенство

При на основе условия а) и утверждения 3 из 1 для собственных интегралов можно записать, что

Используя условие и теорему 3 § 3 гл. XVI о предельном переходе под знаком интеграла, в левой части равенства (15) делаем предельный переход при и получаем левую часть равенства (14). Правая часть равенства (14) по самому определению несобственного интеграла является пределом при правой части равенства (15). Таким образом, благодаря условию из (15) при получаем равенство (14).

Следующий пример показывает, что, в отличие от случая перестановки двух собственных интегралов одного условия а), вообще говоря, недостаточно для справедливости равенства (14).

Пример 14. Рассмотрим функцию на множестве Используя первообразную функции легко подсчитать непосредственно, что

Следствие 3. Если:

функция непрерывна на множестве

неотрицательна на Р и

интеграл как функция у непрерывен на промежутке

то имеет место равенство (14).

Из условия а) следует, что при любом интеграл

является непрерывной по у функцией на отрезке

Из условия вытекает, что при

На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что на при

Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следовательно, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно имеет место.

Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем функция не является знакопостоянной.

В заключение докажем теперь одно достаточное условие пере-, становочности двух несобственных интегралов.

Утверждение 8, Если:

функция непрерывна на множестве

оба интеграла

сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке а второй — относительно х на любом отрезке существует хотя бы один из двух повторных интегралов

то имеет место равенство

Пусть для определенности существует второй из двух указанных в с) повторных интегралов.

Ввиду условия а) и первого из условий на основании утверждения 7 можно сказать, что при любом для функции справедливо равенство (14).

Если мы покажем, что при правая часть равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16) будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому определению несобственного интеграла. Положим

При любом фиксированном функция определена и ввиду непрерывности непрерывна на промежутке

В силу второго из условия на любом отрезке при

Поскольку интеграл совпадающий со вторым. из интегралов условия с), по предположению сходится, на основе мажорантного признака номерной сходимости заключаем, что интеграл относительно параметра сходится равномерно.

Такими образом, выполнены условия утверждения 4 и можно заключить, что

а именно это нам и оставалось проверить.

Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является случайным.

Пример 15. Вычисление при интеграла

показывает заодно, что при любом фиксированном значении он сходится равномерно относительно параметра на всем множестве действительных чисел. То же самое можно было бы сказать об интеграле, отличающемся от написанного заменой на Значения этих интегралов, кстати, отличаются только

знаком. Прямое вычисление показывает, что

Пример 16. При повторный интеграл

от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное тождество, существует: он равен нулю при и равен при Таким образом, в этом случае выполнены - условия а) и с) утверждения 8. То, что для рассматриваемого интеграла выполнены оба условия было проверено в примере 3. Значит, в силу утверждения 8 имеет место равенство

Подобно тому как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из утверждения 8 можно вывести Следствие 4. Если

a) функция непрерывна на множестве

b) неотрицательна на Р,

c) оба интеграла -

являются непрерывными функциями на промежутках соответственно и

существует хотя бы один из повторных интегралов

то существует и другой, повторный интеграл, причем их значения совпадают.

Рассуждая, как при доказательстве следствия 3), из условий а), b), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом случае выполнено условие утверждения 8. Поскольку О, наше условие совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом, все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место равенство (15).

Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на отрезках теперь должны быть выполнены на отрезках

Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных интегрирований, покажем, что

Это известный интеграл Эйлера—Пуассона.

Заметим сначала, что при

и что значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того, понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу или по интервалу

Таким образом,

при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интервала

Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо изменение порядка интегрирований по переменным , поэтому

откуда и следует равенство (17).

Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований.

Функция

непрерывна при , а функция

непрерывна при . Учитывая сделанное выше общее замечание 3, на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение порядка интегрирований действительно законно.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)