2. Интеграл по множеству.

Пусть — определенная на множестве Е функция. Условимся, как и прежде, символом обозначать функцию, равную при и равную нулю вне Е (хотя вне Е не определена).

Определение 2. Интеграл от функции по множеству Е определяется соотношением

где — произвольный промежуток, содержащий множество Е.

Если стоящий в правой части равенства интеграл не существует, то говорят, что неинтегрируема (по Риману) на множестве Е. В противном случае называется интегрируемой (по Риману) на множестве Е.

Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Е функций будем обозначать символом .

Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое Доставляет

Лемма 3. Если и 1% — два промежутка, содержащие порознь множество Е, то интегралы

существуют или не существуют одновременно, причем в первом случае их значения совпадают.

4 Рассмотрим промежуток По условию Точки разрыва функции либо совпадают с точками разрыва функции на Е, либо проистекают от разрывов функции и лежат на . Во всяком случае все эти точки лежат в По критерию Лебега (теорема 1, § 1) отсюда следует, что интегралы от по промежуткам существуют или не существуют одновременно. Если они существуют, то мы вправе выбирать разбиения по своему усмотрению. Будем поэтому брать только те разбиения промежутков , которые получаются

чаются продолжением разбиений промежутка Поскольку рассматриваемая функция равна нулю, интегральные суммы, отвечающие описанным разбиениям сведутся к интегральной сумме соответствующего разбиения промежутка I. После предельного перехода отсюда получается, что интегралы по равны интегралу от рассматриваемой функции по промежутку

Из критерия Лебега (теорема 1, § 1) существования интеграла на промежутке и определения 2 вытекает

Теорема 1. Функция интегрируема на допустимом множестве тогда и только тогда, когда она непрерывна почти во всех точках множества Е.

Функция по сравнению с функцией может иметь дополнительно точки разрыва лишь на границе множества Е, которая по условию является множеством меры нуль.