3. Пространство непрерывных операторов.

В дальнейшем нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы, а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду

Утверждение 1. Для полилинейного оператора действующего из произведения нормированных пространств в нормированное пространство следующие условия равносильны:

a) А имеет конечную норму,

b) А — ограниченный оператор,

c) А — непрерывный оператор,

d) А — оператор, непрерывный в точке

Докажем замкнутую цепочку импликаций а)

Ввиду (8), очевидно, а)

Проверим, что т. е. что из (10) следует непрерывность оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем записать, что

Теперь в силу (10) получаем оценку

из которой, очевидно, следует непрерывность А в любой точке

В частности, если , то из с) получаем d).

Осталось показать, что

По найдем так, чтобы при иметь .

Тогда для любого набора единичных векторов получаем

Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также, что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной размерности.

Начиная с этого места, символом будет обозначаться множество полилинейных непрерывных операторов, действующих из прямого произведения линейных нормированных пространств в линейное нормированное пространство

В частности, есть множество всех линейных непрерывных операторов из X в К.

В множестве вводится естественная структура линейного пространства:

и

Очевидно, если то

Таким образом, можно рассматривать как линейное пространство.

Утверждение 2. Норма полилинейного оператора является нормой в линейном пространстве непрерывных полилинейных операторов.

Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для любого оператора определено неотрицательное число

Неравенство (8) показывает, что

Далее, по определению нормы полилинейного оператора

Наконец, если А и В — элементы пространства то

Теперь, употребляя символ мы будем иметь в виду линейное пространство непрерывных -линейных операторов, нормированное указанной операторной нормой. В частности, — нормированное пространство линейных непрерывных операторов, действующих из X в Y.

Сделаем к утверждению 2 следующее полезное Дополнение. Если — нормированные пространства и то

В самом деле,

Утверждение 3. Если — полное нормированное пространство, то также является полным нормированным пространством.

Проведем доказательство для пространства линейных непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью.

Пусть — фундаментальная последовательность в Поскольку при любом

то ясно, что при любом последовательность фундаментальна в Ввиду полноты V она имеет предел в который мы обозначим через

Итак

Покажем, что — линейный непрерывный оператор.

Линейность А следует из того, что

Далее, при любом фиксированном и достаточно больших значениях выполнено поэтому

на любом векторе Устремляя в последнем неравенстве к бесконечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем

Таким образом, и поскольку заключаем, что .

Следовательно, мы показали, что при в смысле нормы пространства

В заключение остановимся на одном специальном замечании, относящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам потребуется рассмотрении дифференциалов высшего порядка.

Утверждение 4. Между пространствами

при любом существует биекция, сохраняющая линейную структуру и норму.

Предъявим этот изоморфизм.

Пусть

Положим

Тогда

Проверку того, что соотношение (11) задает изоморфизм рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. Применяя раз утверждение 4, в частности, получаем, что пространство изоморфно пространству n-линейных операторов.

Задачи и упражнения

(см. скан)