4. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе.

Теперь дадим представление о том, как в конкретных задачах появляются те или иные ортогональные системы функций и возникают ряды Фурье по этим системам.

Пример 14. Метод Фурье.

Отрезок будем считать положением равновесия однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания около этого положения равновесия. Пусть и — функция, описывающая эти колебания, т. е. в каждый фиксированный момент времени график функции и над отрез ком 0 задае! форму струны в момент Это, в частности, означает, что в любой момент поскольку концы струны закреплены.

Известно (см., например, гл. XIV, § 4), что функция удовлетворяет уравнении

где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля упругости струны.

Одного уравнения (22), конечно, недостаточно для определения функции и Из опыта мы знаем, что движение и однозначно определится, если, например, задать положение струны в какой-то (будем его называть начальным) момент времени и скорость точек струны в этот момент. Так, если мы, оттянув струну, придаем ей форму и отпускаем, то

Итак, задача о свободных колебаниях струны, закрепленной в концах отрезка свелась к отысканию такого решения и уравнения которое удовлетворяет граничным условиям

и начальным условиям

Для решения подобных задач существует довольно естественная процедура, называемая в математике методом разделения переменных или методом Фурье. Она состоит в следующем. Решение ищется в виде ряда члены которого являются специального вида (с разделенными переменными) решениями данного уравнения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как мы увидим, это равносильно разложению колебания в сумму простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн).

Действительно, если функция удовлетворяет уравнению (22), то т. е.

В уравнении (25) независимые переменные оказались в разных его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Если учесть еще граничные условия которым должно удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его отыскание сводится к одновременному решению уравнений

при условии, что

Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в отдельности:

Если мы попытаемся удовлетворить условиям то получим, что при должно быть и, отбросив тривиальный случаи получаем, что откуда

Таким образом, в уравнениях (26), (27) число К оказывается можно выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так называемых собственных чисел задачи),

Подставляя эти значения К в выражения (28), (29), получаем серию специальных его решений

удовлетворяющих граничным условиям (и описывающих стоячую волну вида в которой каждая точка совершает простые гармонические колебания со своей амплитудой но одной и той же для всех точек частотой

Величины по естественной прлчине называют собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические колебания (30) — собственными колебаниями струны. Колебание с наименьшей собственной частотой называют основным тоном струны, а остальные ее собственные колебания « называют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром).

Мы хотим теперь представить искомое колебание и в вид суммы собственных колебаний данной струны. Граничные условия (23) при этом автоматически выполнены, и надо только позаботиться о выполнении начальных условий (24), которые означают, что

и

Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных коэффициентов или, что то же самое, к разложению функций в ряд Фурье по системе ортогональной на отрезке

Полезно заметить, что возникшие из уравнения (27) функции можно рассматривать как собственные векторы линейного оператора отвечающие его собственным значениям которые появились из условия, что оператор действует на пространстве функций класса обращающихся в нуль на концах отрезка Значит, равенства (31), (32) можно трактовать как разложения по собственным векторам данного линейного оператора.

Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являются одним из основных источников ортогональных систем функций в анализе.

Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину ортогональности таких систем.

Пусть — линейное пространство, наделенное скалярным произведением некоторое его подпространство (плотное в Линейный оператор называется симметрическим, если для любых векторов выполнено равенство Так вот: собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным его собственным значениям, ортогональны.

Действительно, если то

откуда следует, что

Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где в сущности рассматривались собственные функции оператора действующего на пространстве функций класса обращающихся в нуль на концах отрезка Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указанном пространстве является симметрическим (относительно стандартного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4 является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта.

В частности, когда из А получается оператор который при встретился нам в последнем примере 14.

Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разложению функций Ф и (см. соотношения (31) и в ряд

по собственным функциям оператора Здесь, конечно, возникает вопрос о принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.

Полнота в тригонометрической системы (и некоторых других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме, по-видимому, впервые доказана Ляпуновым. В неявном виде полнота конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще на рубеже XVIII—XIX веков. В общей постановке вопросы полноты ортогональных систем и их приложения в задачах математической физики были одним из основных объектов исследований Стеклова, который и ввел в математику само понйтие полноты (замкнутости) ортогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати, активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания) функции (см. §§ 4, 5 гл. XVII), который поэтому часто называется методом усреднений Стеклова.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)