2. Алгебра кососимметрических форм.

Рассмотрим теперь в подпространство и кососимметрических -форм, т. е. если для любых различных индексов имеет место равенство

любой формы можно получить кососимметрическую форму с помощью операции альтернирования форм, определяемой соотношением

где

Если — кососимметрическая форма, как видно из (11), Таким образом, если . Значит, является отображением на

Сопоставляя определения (3), (4), (11), получаем

Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложения (10) получается, что

поэтому интересно найти

Из определения (11) с учетом того, что находим

Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще Говоря, уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе кососимметрических форм вводится следующая операция их внешнего произведения:

Таким образом, есть кососимметрическая форма степени

Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из определения (15) находим

Пример 4. Используя полученное в примере 3 равенство, соотношение (14) и определения (11), (15), можно написать, что

Аналогичная выкладка показывает, что

Используя разложение определителя по столбцу, на основании принципа индукции заключаем что

причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) справедлива для любых -форм (не обязательно базисных форм пространства X.

Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произведения и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего произведения кососимметрических форм:

Равенства (19), (20), очевидно, следуют из соотношений и (12), (13).

Из соотношений и (17) для любой кососнмметрической формы получаем

Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для доказательства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм вида

Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена равенством (17).

Из равенства (18) и свойств определителей для указанных специальных форм немедленно получаем соотношение (21).

Заодно мы показали, что любая форма может быть представлена в виде

Итак, множество кососимметрнческих форм на векторном пространстве X относительно линейных операций (3), (4) и внешнего умножения (15) является градуированной алгеброй Линейные операции на О выполняются в пределах

каждого линейного пространства и если то

В прямой сумме суммирование ведется от нуля до размерности пространства X, поскольку кососимметрические формы степень которых выше размерности линейного пространства X, обязательно тождественно равны нулю, что видно из соотношения (21) (или из соотношений (23) и