4. Начальные представления о распределениях

а. Определение обобщенных функций.

В п. 1 настоящего параграфа мы на эвристическом уровне вывели формулу (1), дающую

возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной сигнал по известной аппаратной функции Е прибора А. При определении аппаратной функции прибора существенно использовалось некоторое интуитивное представление о единичном импульсном вбздействии и описывающей его -функции. Ясно, однако, что -функция на самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым с классической точки зрения набором свойств: на при

Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, -функцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математические описания в так называемой теории обобщенных функций или, иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сейчас изложить.

Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упругой пружиной; — коэффициент упругости пружины. На покоящуюся в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени сила смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона

где — координата точки (смещение от положения равновесия) в момент

При указанных условиях функция однозначно определяется функцией и решение дифференциальногоуравнения (10), очевидно, линейно зависит от его правой части Таким образом, мы имеем дело с линейным оператором обратным к дифференциальному оператору связывающему соотношением Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по времени, то, чтобы найти отклик описанной механической системы на функцию достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на единичное импульсное воздействие т. е. достаточно знать (так называемое фундаментальное) решение Е уравнения

Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы действительно обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно. Но формально неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем случае надо лишь уяснить смысл равенства (11).

Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: можно понимать как имитирующее -функцию -образное семейство классических

функций как предел, к которому стремятся решения уравнения

при соответствующем изменении параметра а.

Другой, имеющий свои значительные преимущества подход к обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими («пробными») объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор значений в различных точках, а как объект, способный определенным образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем это пока слишком общее высказывание.

Пример 8. Пусть . В качестве пробных возьмем функции класса (непрерывные финитные на Функция порождает следующий, действующий на функционал

Используя -образные семейства финитных функций, легко понять, что на в том и только в том случае, когда на

Таким образом, каждая функция порождает в силу (12) линейный функционал и, подчеркнем, при этом различным функциям соответствуют различные функционалы

Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное отображение) множества функций в множество линейных функционалов на и, следовательно, каждую функцию можно интерпретировать как некоторый функционал

Если вместо множества непрерывных функций рассмотреть множество функций, локально интегрируемых на то по той же формуле (12) получается отображение указанного множества в пространство При этом на во всех точках непрерывности функции на почти на Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в классов эквивалентных функций, если в один класс отнести локально интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.

Итак, локально интегрируемые на функции Точнее, классы их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать как линейные функционалы Осуществляемое по формуле (12) отображение локально интегрируемых функций в пространство не является отображением на все поэтому, интерпретируя функции как

элементы (т. е. как функционалы), мы, - кроме классических функций, интерпретируемых как функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы), не имеющие прообраза в классических функциях.

Пример 9. Функционал определяется соотношением

которое должно быть выполнено для любой функции

Можно проверить (см, задачу 7), что никакая локально интегрируемая на функция неспособна представить функционал 8 в виде (12).

Итак, мы вложили множество классических локально интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов. Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный термин «распределение» имеет физическое происхождение.

Пример 10. Пусть на распределена единичная масса (или единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую на плотность то взаимодействие массы М с другими объектами, описываемыми функциями может задаваться в виде функционала

Если распределение сингулярно, например вся масса М сосредоточена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя предельную точечную ситуацию с помощью -образного семейства регулярных распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными выше другими объектами должно выражаться формулой

показывающей, что такое распределение массы на следует отождествить с -функцией (13) на

Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным следующее общее

Определение 6. Пусть Р — линейное пространство функций, называемое в дальнейшем пространством основных или пробных функций с определенной в Р сходимостью функций.

Пространством обобщенных функций или распределений над Р назовем линейное пространство Р линейных непрерывных (вещественно- или комплекснозначных) функционалов на Р. При этом предполагается, что каждый элемент порождает некоторый функционал и что отображение является непрерывным вложением Р в если сходимость в Р вводится

как слабая («поточечная») сходимость функционалов, т. е.

Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линейное пространство бесконечно дифференцируемых финитных в функций, где — произвольное открытое подмножество (быть может, и совпадающее с

Определение 7 (пространств и Сходимость в введем следующим образом: последовательность функций будет считаться сходящейся к функции , если существует компакт с в котором содержатся носители всех функций последовательности и при любом значении на (а значит, и когда

Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем сходимостью принято обозначать символом а когда символом

Соответствующее этому пространству основных (пробных) функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают символом или соответственно.

В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного пространства поэтому без специальных оговорок будем употреблять термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элементы

Определение 8. Распределение называется регулярным, если его можно представить в виде

где — локально интегрируемая в функция.

Нерегулярные распределения называют сингулярными распределениями или сингулярными обобщенными функциями.

В соответствии с этим определением -функция (из примера 9) является сингулярной обобщенной функцией.

Действие обобщенной функции (распределения) на основную (пробную) функцию т. е. спаривание будем, как и прежде, обозначать одним из двух равнозначных символов или

Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной функции, как и большинство математических понятий, имело определенный период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось в трудах ряда математиков.

Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — нанале тридцатых годов активно использовали -функцию и оперировали с сингулярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной математической теории.

В явном виде идея обобщенной функции была высказана С. Л. Соболевым, заложившим в середине тридцатых годов математические основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата теории распределений в значительной степени связано с выполненными в конце сороковых годов работами Л. Шварца. Сказанное поясняет, почему, например, пространство 3 обобщенных функций часто называют пространством обобщенных функций Соболева — Шварца.

Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распределений. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и их приложений.

Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только обобщенные функции класса 3, хотя все их свойства, как будет видно из определений и доказательств, остаются в еиле для распределений любого класса где — произвольное открытое подмножество

Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных соотношений, справедливых для классических функций, т. е. для регулярных обобщенных функций.

b. Умножение распределения на функцию.

Если — локально интегрируемая на функция, то при любой функции с одной стороны, а с другой стороны, имеет место очевидное равенство

или в других обозначениях

Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функций, лежит в основе следующего определения распределения получаемого умножением распределения на функцию

Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается значение функционала на любой функции , т. е. задается сам функционал

Пример 11. Посмотрим, как действует распределение где В соответствии с определением (14) и определением распределения получаем

с. Дифференцирование обобщенных функций.

Если то интегрированием по частям получаем равенство

Это равенство является отправной точкой для следующего основного определения дифференцирования обобщенной функции

Пример 12. Если то производная от в классическом смысле совпадает с производной от в смысле теории распределений (разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части совпадают, если распределение порождается функцией

Пример 13. Возьмем функцию Хевисайда

называемую иногда единичной ступенькой и, рассматривая ее как обобщенную функцию, найдем производную Я этой разрывной В классическом смысле функции.

Из определения регулярной обобщенной функции Я, отвечающей функции Хевисайда, и на основании соотношения (16) находим

поскольку Таким образом, какова бы ни была функция Значит,

Пример 14. Вычислим

Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в классическом случае, для определения высших производных полагают, что

Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно, следовательно, записать, что

Пример 15. Покажем, что

При это — определение -функции.

Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и при

Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного значения оно уже установлено. Опираясь на определение (16), находим

Пример 16. Пусть функция непрерывно дифференцируема при и при и пусть существуют односторонние пределы функции в точке 0. Обозначим через величину скачка функции в точке 0, а через соответственно производную функции в смысле теории распределений и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной производной от при При последняя функция не определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет регулярное распределение

В примере 1 мы отмечали, что если то Покажем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная формула:

Действительно,

Если все производные до порядка функции на промежутках существуют, непрерывны и имеют односторонние пределы при то повторным дифференцированием из (17) получаем соотношение

Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования обобщенных функций.

Утверждение 6.

a) Любая обобщенная функция бесконечно дифференцируема.

b) Операция дифференцирования линейна.

c) Если то и справедлива формула Лейбница

d) Операция дифференцирования непрерывна.

e) Если ряд составленный из локально интегрируемых функций сходится равномерно на каждом лежащем в компакте, то в смысле обобщенных функций его можно дифференцировать почленно любое число раз и получаемые при этом ряды будут сходиться в

Очевидно.

Проверим формулу при

В общем случае формулу можно получить теперь методом индукции.

Пусть в при т. е. для любой функции при Тогда

е) При указанных условиях сумма ряда как равномерный на компактах предел локально интегрируемых функций сама является локально интегрируемой. Остается заметить, что для любой функции (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой) имеет место соотношение

Теперь на основании доказанного в заключаем, что при

Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического дифференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае из-за наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (отсутствия непрерывности) классического дифференцирования относительно предельных переходов.

d. Фундаментальное решение и свертка.

Мы начали этот пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппаратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая механическая система, которая естественным образом порождает линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы пришли к уравнению (11), которому должна удовлетворять аппаратная функция Е этого оператора.

Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание на языке обобщенных функций.

Начнем с осмысления уравнения (11). В правой его части стоит обобщенная функция поэтому соотношение следует трактовать как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций.

Попробуем решить уравнение (11).

При система находилась в покое. При точка получила единичный импульс, поэтому в момент она приобрела такую скорость что При на систему не действуют внешние силы и ее закон движения подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению

которое следует решать при начальных данных

Такое решение единственно и немедленно выписывается:

Поскольку в нашем случае при система покоится, то можно заключить, что

где Н — функция Хевисайда (см. пример 13).

Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что задаваемая равенством (20) функция удовлетворяет уравнению (11).

Для упрощения записи проверим, что функция

удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению

Действительно,

Далее, для любой функции

тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22).

Введем, наконец, следующее определение, формализующее понятие аппаратной функции прибора.

Определение 9. Фундаментальным решением (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А: называется такая обобщенная функция которая под действием оператора А переходит в функцию

Пример 17. В соответствии с этим определением функция (21) является фундаментальным решением для оператора поскольку она удовлетворяет уравнению (22).

Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т. е. является функцией влияння для оператора Фундаментальная роль аппаратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась в п. 1, где была получена формула (1), на основании которой можно теперь записать соответствующее указанным

в примере 7 начальным условиям решение уравнения (10):

Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае регулярных распределений определение свертки обобщенных функций равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки функций.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)