3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса.

Заметим, что интеграл в соотношении (6) дает среднее значение функции на промежутке поэтому, если непрерывна в точке х, то, очевидно, при Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям относящимся к представлению о -функции, хотелось бы записать в виде предельного равенства

Это равенство показывает, что -функцию можно трактовать как единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки. Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если будет показано, что любое семейство функций, сходящихся к -функции, обладает тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство

Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное

Определение 4. Семейство функций зависящих от параметра , называют -образным или аппроксимативной единицей при базе в А, если выполнены следующие три условия:

все функции семейства неотрицательны

для любой функции Да семейства

для любой окрестности точки

Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно тому, что

Рассмотренное в и примере 1 исходное семейство «ступенек» 6а, конечно, является -образным при Приведем другие примеры -образных семейств функций.

Пример 2. Пусть — произвольная неотрицательная интегрируемая на финитная функция такая, что

При построим функции Семейство этих функций при очевидно, является аппроксимативной единицей (см. рис. 101).

Пример 3. Рассмотрим последовательность функций

Для того чтобы установить -образность этой последовательности, надо лишв проверить, что, кроме условий а), для нее при базе выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом

откуда и следует, что условие с) выполнено.

Пример 4. Пусть

Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). Заметим сначала, что

С другой стороны, при

Сопоставляй полученные неравенства, заключаем, что, каково бы ни было число

откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено.

Определение 5. Будем говорить, что функция равномерно непрерывна на множестве если для любого можно указать число такое, что при любом и любом из рестности точки х в выполнено соотношение

В частности, если мы возвращаемся к определению функции, равномерно непрерывной на всей своей области определения.

Теперь докажем следующее основное

Утверждение 5. Пусть — ограниченная функция, а -образное семейство функций при Если любом свертка существует и функция равномерно непрерывна на множестве то

Итак, утверждается, что семейство функций равномерно Сходится к функции на множестве Е ее равномерной непрерывности. В частности, если Е состоит только из одной точки х, условие равномерной непрерывности на Е сводится к условию непрерывности функции в точке х, и мы получаем, что Это и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения (7).

Докажем утверждение 5.

Пусть на . По числу подберем в соответствии с определением 5 число и обозначим через рестность нуля в

Учитывая симметричность свертки, получаем следующие оценки, справедливые однбвременно для всех точек

При последний интеграл стремится к нулю, значит, вгачиная с какого-то момента, при всех будет выполнено Неравенство

что и завершает доказательство утверждения 5.

Следствие 1. Любую финитную непрерывную на функцию Цожно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно дифференцируемыми функциями.

Проверим, что в указанном смысле всюду плотно в Пусть, например,

где коэффициент выбран так, что

Функция финитна и бесконечно дифференцируема. В таком случае семейство бесконечно дифференцируемых функций как в примере 2, является -образным при Если то ясно, что и Кроме того, по утверждению Наконец, из утверждения 5 вытекает, что на при

Замечание 2. Если рассматриваемая функция при» надлежит классу каково бы ни было значение можно гарантировать, что на при

Действительно, в этом случае (см. утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следствие 1.

Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить на этом отрезке алгебраическим многочленом.

Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном нам отрезке Будем поэтому считать, что и пусть Заданную нам функцию продолжим до непрерывной на функции полагая при и, например, линейно сопрягая 0 с с 0 на участках соответственно.

Если теперь взять -образную последовательность функций из примера 3, то на основании утверждения 5 можно заключить, что на при Но при

Последнее выражение является многочленом степени и мы показали, что на при

Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения, можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если отрезок заменить произвольным, лежащим в компактом.

Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого открытого в множества и любой функции существует последовательность полиномов такая, что при каждом на любом компакте когда

Если, кроме того, множество ограничено и та можно добиться, чтобы на при

Замечание 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2 была использована -образная последовательность примера 3, можно использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая -периодическая функция на равномерно приближается тригонометрическими полиномами вида

Выше использовались лишь -образные семейства финитных функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную роль играют -образные семейства не финитных функций Приведем только два примера.

Пример 5. Семейство функций при является -образным на так как при ,

и при любом справедливо соотношение

когда .

Если — непрерывная и ограниченная функция, то функция

представляющая собой свертку определена при любых .

Интеграл (8), называемый интегралом Пуассона для полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномерной сходимости), является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией в полуплоскости Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при

т. е. — гармоническая функция.

На основании утверждения 5 можно гарантировать также, что при Таким образом, интеграл (8) решает задачу построения ограниченной функции, гармонической в полуплоскости и принимающей заданные граничные значения на

Пример 6. Семейство функций является образным на при Действительно, поскольку (интеграл Эйлера—Пуассона); наконец, при любом выполнено соотношение когда

Если — непрерывная и, например, ограниченная функция на то функция

представляющая собой свертку очевидно, бесконечно дифференцируема при

Дифференцируя под знаком интеграла при получаем, что

т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности о начальным условием Последнее равенсво следует трактовать как предельное соотношение и при вытекающее из утверждения 5.