§ 4. Примеры приложений

Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояснить физический смысл формулы Гаусса — Остроградского — Стокса как закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вывод некоторых важных уравнений математической физики.

1. Уравнение теплопроводности.

Изучается скалярное поле температуры наблюдаемого тела как функция точки тела и времени . В результате теплообмена между различными частями тела поле Т может как-то меняться. Однако это изменение не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и хотим в явном виде выписать.

Пусть — некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограниченная поверхностью Если в нет источников тепла, то изменение внутренней энергии содержащегося в вещества может происходить только в результате теплообмена, т. е. в данном случае путем переноса энергии через границу S области

Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме и поток энергии через поверхность мы на основе закона сохранения энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение.

Известно, что для увеличения на температуры однородной массы требуется тепловая энергия в количестве где с — удельная теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежуток времени наше поле Т изменилось на величину внутренняя энергия в области изменилась на величицу

где — плотность вещества.

Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне изменения температур количество тепла, протекающее в результате теплообмена через выделенную в теле площадку за единицу времени, пропорционально потоку — поля — через эту площадку берется по пространственным переменным Коэффициент пропорциональности

зависит от вещества и называется его коэффициентом теплопроводности. Знак минус перед отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени через границу 5 области в сторону внешней нормали пройдет следующая энергия (с точностью до

Приравнивая величину (1) ко взятой с противоположным знаком величине (2) после деления на и перехода к пределу при получаем

Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Т достаточно гладкой, преобразуем равенство (3), используя формулу Гаусса—Остроградского:

Отсюда ввиду произвольности области очевидно, следует, что

Мы получили дифференциальный вариант интегрального равен ства (3).

Если бы в области были источники (или стоки) тепла, интенсивность которых имела бы плотность то вместо равенства (3) мы должны были бы написать равенство

и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение

Если тело считать изотропным и однородным в смысле его теплопроводности, то коэффициент будет постоянной и уравнение (4) преобразуется к следующему каноническому виду:

где коэффициент температуропроводности. Уравнение (5) называется обычно уравнением теплопроводности.

В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т не зависит от времени, это уравнение превращается в. уравнение Пуассона

где , а если еще и тепловых источников в теле не было, то получается уравнение Лапласа

Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют гармоническими функциями. В теплофизической интерпретации гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на границе тела V поддерживать заданный тепловой режим то со временем температурное поле в теле V стабилизируется в виде некоторой гармонической функции Т. Такая интерпретация решений уравнения Лапласа (7) позволяет предугадать ряд свойств гармонических функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области V функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов, иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно.