4. Выражение формы объема в декартовых координатах.

Пусть — гладкая гиперповерхность (размерности в ориентированном евклидовом пространстве снабженная ориентирующим ее непрерывным полем единичных нормалей Пусть V — форма (-мерного) объема в —форма -мерного) объема на

Если в касательном пространстве взять репер из класса ориентации, задаваемого единичной нормалью к то, очевидно, можно записать следующее равенство:

Справедливость его следует из того, что при указанных условиях обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что объем параллелепипеда, натянутого на векторы равен площади основания умноженной на высоту

Но

Здесь — декартовы координаты в задающем ориентацию ортонормированном базисе а крышка над дифференциалом означает, что в этом слагаемом он отсутствует.

Таким образом, получается следующее координатной выражение для формы объема на ориентированной гиперповерхности

Из тех же геометрических соображений следует, что при фиксированном значении

Последнее равенство означает, что

Для двумерной поверхности в элемент объема чаще всего обозначают символами или Их не следует воспринимать как дифференциалы неких форм о и это единые символы. Если — декартовы координаты в то в этих обозначениях соотношения (8), (10) запишутся так:

Здесь — направляющие косинусы (координаты) единичного вектора нормали к в точке . В этих равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (10), во избежание недоразумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак сужения соответствующей формы на поверхность но чтобы не загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием,