3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье.

а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функций.

Лемма 4 (о дифференцировании ряда Фурье), Еслц непрерывная функция , принимающая на концах отрезка равные значения кусочно непрерывно дифференцируема на , то ряд Фурье ее производной

может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье

самой функции, т. е.

Исходя из определения коэффициентов Фурье (13), интегрированием по частям находим

поскольку

Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее коэффициентов Фурье), Пусть Если функция имеет на отрезке кусочно непрерывную производную порядка то

и

причем

Соотношение (30) получается в результате -кратного использования равенства (29)

Полагая с учетом неравенства Бесселя

из (30) получаем соотношение (31).

Замечание 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 4 вместо условий можно было бы считать, что Является заданной на всей прямой -периодической функцией.

Замечание 7. Если тригонометрический ряд Фурье записывать в форме (6), а не в комплексной форме (6), то вместо простых соотношений (30) пришлось бы писать заметно более громоздкие равенства, смысл которых, однако, тот же: при указанных условиях ряд Фурье можно дифференцировать почленно (в какой бы из форм (6) или (6) он ни был задан). Что же касается оценок коэффициентов Фурье ряда (6), то, поскольку (см. формулы (12)), из (31) следует, что если функция удовлетворяет указанным в утверждении условиям, то

где причем можно считать

Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда Фурье. Теорема 5. Если такова, что

имеет на кусочно непрерывную производную порядка

то ряд Фурье функции сходится к абсолютно и равномерно На отрезке , причем отклонение частичной суммы ряда Фурье от на всем отрезке имеет оценку

где стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел.

Если непрерывная на отрезке функция удовлетворяет условию имеет на этом отрезке хотя бы первую кусочно непрерывную производную, то на основании соотношений уже можно записать, что

и поскольку ряды сходятся, ряд тоже сходится. На основании мажорантного признака Вейерштрасса можно теперь из соотношения (32) заключить, что ряд Фурье

функции сходится абсолютно и равномерно на всем отрезке (и всей прямой ).

Пусть

По условию функция кусочно непрерывно дифференцируема на , поэтому она удовлетворяет условиям дини в каждой точке отрезка (см. пример 3). Поскольку функцию можно -периодически продолжить на с сохранением свойств Дини в любой точке Значит, на основании теоремы 3 можно заключить, что

Теперь, используя соотношения имеем возможность приступить к оценке:

По неравенству Коши — Буняковекого

Полагая и учитывая сходимость ряда вытекающую из оценки заключаем, что при

Далее (рис. 104)

и, значит,

Полагая теперь из проведенных оценок получаем неравенство (32).

В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных замечаний.

Рис. 104

Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при ее доказательстве теоремы ,3) можно легко и независимо от теоремы Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса, сформулированную в следствии 1.

Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Используя равномерную непрерывность функции на отрезке , аппроксимируем на этом отрезке равномерно с точностью до кусочно, линейной непрерывной функцией принимающей на концах отрезка те же значения, что и (рис. 105). По теореме 5 ряд Фурье-функции сходится к равномерно на отрезке Беря частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от не более чем на получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий исходную функцию с точностью до на всем отрезке

Замечание 9. Предположим нам удалось представить функцию имеющую особенность — скачок, в виде суммы некоторой гладкой функции и некоторой простой функции имеющей ту же особенность, что и (рис 106 а, Ь, с).

Рис. 105

Тогда ряд Фурье функции окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5 ряда Фурье функции и ряда Фурье функции Последний можно считать известным, если взять стандартную функцию (на рисунке при —

Рис. 106

Это наблюдение используется как в прикладных и вычисли тельных вопросах, связанных с рядами (метод А. Н. Крылова выделения особенностей и улучшение сходимости рядов), так и самой теории тригонометрических рядов Фурье (см., например. тление Гиббса, описанное в задаче 11).

Замечание 10 об интегрировании рйда Фурье.

Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать еле дующее дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье

Утверждение 2. Если функция кусочно непрерывна, то соответствие после интегрирования превращается в равенство

где штрих, свидетельствует об отсутствии в сумме члена с индексом суммирование происходит по симметричным частичным суммам и при этом ряд сходится равномерно на отрезке .

Рассмотрим вспомогательную функцию

на промежутке . Очевидно, Далее, поскольку

что следует из определения Поскольку производная функции кусочно непрерывна, - ряд Фурье с функции по теореме 5 сходится к равномерно на отрезке . По лемме 4 при Но если Записывая теперь равенство в терминах функции и учитывая, что получаем то, что и утверждалось.