Система открытых множеств 
образует открытое покрытие компакта Е.
Пусть 
— извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку 
то множества 
тоже образуют покрытие Е и, значит
Отсюда следует, что 
То, что 
нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию 
, значит, существует постоянная М такая, что 
на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение 
действительно имеет место.
Определение 2. Пусть 
— исчерпание множества Е, а функция 
интегрируема на множествах 
Тогда величина
если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным интегралом от функции 
по множеству Е.
Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции 
по множеству Е не существует или что интеграл расходится.
Цель определения 2 состоит в том, - чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо
Замечание 1. Если Е — измеримое множество и 
то интеграл от 
по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции 
по множеству Е.
Именно, об этом говорит утверждение 
доказанной выше леммы.
Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не
пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает
Утверждение 1. Если функция 
неотрицательна и хотя бы для одного исчерпания 
множества Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функции 
по множеству Е сходится.
Пусть 
— другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция 
интегрируема. Множества 
образуют исчерпание измеримого множества 
, поэтому из утверждения 
леммы следует, что
Поскольку 
Но теперь исчерпания 
равноправны, поэтому 
и, значит, 
Пример 1. Найдем несобственный интеграл 
Будем исчерпывать плоскость 
последовательностью кругов 
После перехода к полярным координатам легко получаем, что
при 
.
В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен 
.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами 
По теореме Фубини
В силу утверждения 1 последняя величина при 
должна стремиться к 
. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что
Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3.
будем называть такую последовательность измеримых множеств 
что 
при любом 
— исчерпание 
для любой функции 
также 
и
, то 
Для доказательства равенства а) покажем, что выполняется также 
.
множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины 
Пусть 
— объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество 
открыто в причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е и 
е.
исчерпания 
можно повторить описанное построение со значением 
Тогда получим последовательность 
таких, что 
