§ 6. Несобственные кратные интегралы

1. Основные определения.

Определение 1. Исчерпанием множества будем называть такую последовательность измеримых множеств что при любом

Лемма. Если — исчерпание измеримого множества Е, то: для любой функции также и

а) Поскольку , то Для доказательства равенства а) покажем, что выполняется также неравенство .

Граница множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины Пусть — объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество открыто в причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е и е.

Для каждого множества исчерпания можно повторить описанное построение со значением Тогда получим последовательность открытых множеств таких, что

Система открытых множеств образует открытое покрытие компакта Е.

Пусть — извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку то множества тоже образуют покрытие Е и, значит

Отсюда следует, что

То, что нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию , значит, существует постоянная М такая, что на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем

Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение действительно имеет место.

Определение 2. Пусть — исчерпание множества Е, а функция интегрируема на множествах

Тогда величина

если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным интегралом от функции по множеству Е.

Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции по множеству Е не существует или что интеграл расходится.

Цель определения 2 состоит в том, - чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования.

Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо

Замечание 1. Если Е — измеримое множество и то интеграл от по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции по множеству Е.

Именно, об этом говорит утверждение доказанной выше леммы.

Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не

пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает

Утверждение 1. Если функция неотрицательна и хотя бы для одного исчерпания множества Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функции по множеству Е сходится.

Пусть — другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция интегрируема. Множества образуют исчерпание измеримого множества , поэтому из утверждения леммы следует, что

Поскольку

Но теперь исчерпания равноправны, поэтому и, значит,

Пример 1. Найдем несобственный интеграл

Будем исчерпывать плоскость последовательностью кругов После перехода к полярным координатам легко получаем, что

при .

В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен .

Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами По теореме Фубини

В силу утверждения 1 последняя величина при должна стремиться к . Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что

Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3.