Система открытых множеств
образует открытое покрытие компакта Е.
Пусть
— извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку
то множества
тоже образуют покрытие Е и, значит
Отсюда следует, что
То, что
нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию
, значит, существует постоянная М такая, что
на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение
действительно имеет место.
Определение 2. Пусть
— исчерпание множества Е, а функция
интегрируема на множествах
Тогда величина
если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным интегралом от функции
по множеству Е.
Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции
по множеству Е не существует или что интеграл расходится.
Цель определения 2 состоит в том, - чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо
Замечание 1. Если Е — измеримое множество и
то интеграл от
по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции
по множеству Е.
Именно, об этом говорит утверждение
доказанной выше леммы.
Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не
пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает
Утверждение 1. Если функция
неотрицательна и хотя бы для одного исчерпания
множества Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функции
по множеству Е сходится.
Пусть
— другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция
интегрируема. Множества
образуют исчерпание измеримого множества
, поэтому из утверждения
леммы следует, что
Поскольку
Но теперь исчерпания
равноправны, поэтому
и, значит,
Пример 1. Найдем несобственный интеграл
Будем исчерпывать плоскость
последовательностью кругов
После перехода к полярным координатам легко получаем, что
при
.
В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен
.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами
По теореме Фубини
В силу утверждения 1 последняя величина при
должна стремиться к
. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что
Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3.