§ 5. Полные метрические пространства

В этом параграфе речь будет уже только о метрических пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную роль в различных отделах анализа.

1. Основные определения и примеры.

По аналогии с уже известными нам из рассмотрения пространства понятиями, введем понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек произвольного метрического пространства.

Определение 1. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при любых номерах больших, чем выполняется соотношение е.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность точек метрического пространства сходится к точке и что а есть предел этой последовательности, если

Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, называть сходящимися.

Теперь дадим основное

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся.

Пример 1. Множество действительных чисел со стандартной метрикой является полным метрическим пространством, что следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности.

Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной последовательностью, то в определении полного метрического пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия Коши сходимости последовательности.

Пример 2. Если из множества удалить, например, число О, то в стандартной метрике множество уже не будет полным пространством. Действительно, последовательность его точек фундаментальна, но она не имеет предела в

Пример 3. Пространство с любой из стандартных метрик в нем является полным, как это было выяснено в гл. VII, § 2, п. 1.

Пример 4. Рассмотрим множество вещественнозначных непрерывных на отрезке функций с метрикой

(см. § 1, пример 7).

Покажем, что метрическое пространство является полным.

Пусть — фундаментальная последовательность функций из , т. е.

При каждом фиксированном значении как видно из (2), числовая последовательность фундаментальна и по критерию Коши имеет определенный предел

Итак,

Проверим, что функция непрерывна на

Из и (3) следует, что при выполнено неравенство

Фиксируем точку и проверим непрерывность функции в этой точке. Пусть смещение таково, что . Из тождества

вытекает неравенство

Крайние члены правой части последнего неравенства в силу (4) не превосходят если Фиксировав получаем функцию и, подбирая так, что при выполняется получаем, что если Но это и означает, что функция непрерывна в точке х. Поскольку точка х была произвольной точкой отрезка мы показали, что

Итак, пространство с метрикой (1) является полным метрическим пространством. Это очень важный и широко используемый в анализе факт.

Пример 5. Если на том же множестве вместо рщси (1) рассмотреть интегральную метрику

возникающее метрическое пространство уже не будет полньа.

Ради простоты обозначений положим рассмотрим, к примеру, последовательность функций, определенных следующим образом:

(рис. 67).

Из свойств интеграла непосредственно вытекает, что эта по следовательность фундаментальна в смысле метрики (6) в Вместе с тем она не имеет предела в , ибо если бы прерывная функция была пределом указанной последовательности в смысле метрики (6), то на промежутке функция должна была бы быть достоянной, равной —1, а на промежутке — постоянной, равной 1, что несовместимо с непрерывностью в точке

Рис. 67.

Пример 6. Несколько труднее показать, что даже множество определенных на отрезке вещественнозначных Интегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в смысле метрики (6). Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

В качестве возьмем отрезок [0, 1] и построим на нем такое канторовское множество, которое не является множеством меры нуль. Пусть Удалим из отрезка [0, 1] среднюю его часть длины А, точнее, -окрестность середины отрезка [0, 1]. На каждом из оставшихся двух отрезков, удалим среднюю часть длины . На каждом из четырех оставшихся отрезков удалим среднюю часть длины и т. д. Длина всех

удаленных в таком процессе интервалов равна

Поскольку имеем и, как можно проверить, отсюда следует, что, оставшееся на отрезке [0, 1] (канторово множество) К не имеет меру нуль в смысле Лебега.

Рассмотрим теперь следующую последовательность: Пусть — функция, равная единице всюду на [0, 1], кроме точек, выбрасываемых на первых «шагах интервалов, на которых она полагается равной нулю. Легко проверить, что эта последовательность фундаментальна в смысле метрики (6). Если бы некоторая функция была пределом этой последовательности, то должна была бы почти во всех точках отрезка совпадать с характеристической функцией множества К. Тогда имела бы разрывы во всех точках множества К. Но поскольку К не имеет меру нуль, из критерия Лебега можно было бы заключить, что . Значит, с метрикой (6) - не является полным метрическим пространством.