§ 2. Интегральные формулы теории поля

1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях

а. Векторная запись форм

В предыдущей главе мы уже отметили (см. там § 2, формулы (23), (24)), что сужение форумы работы поля на ориентированную гладкую кривую (путь) у или сужение формы потока поля V на ориентированную поверхность можно записать соответственно в следующем виде:

где — ориентирующий у единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости движения вдоль — элемент (форма) длины на — ориентирующий поверхность вектор единичной нормали к поверхности, — элемент (форма) площади на поверхности

В векторном анализе часто используют векторный элемент длины кривой и векторный элемент площади поверхности Используя эти обозначения, можем теперь

писать:

b. Формула Ньютона — Лейбница.

Пусть — путь в области

В применении к -форме формула Стокса

с одной стороны, означает равенство

что совпадает с классической формулой

Ньютона—Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента она означает, что

Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона — Лейбница можно переписать в виде

В такой записи она означает, что приращение функции на пути равно работе на этом пути поля градиента этой функции.

Это довольно удобная и информативная запись. Кроме очевидного вывода о том, что работа поля вдоль пути у зависит только от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более тонкое наблюдение. А именно, движение по. поверхности уровня функции происходит без совершения работы полем поскольку в этом случае Далее, как показывает левая часть формулы, работа поля зависит даже не столько от начала и конца пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции лежат эти точки.

c. Формула Стокса.

Напомним, что работа поля на замкнутом пути называется циркуляцией поля на этом пути.

Чтобы отметить, что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обозначения часто пишут

Если у — кривая на плоскости, то иногда употребляют еще и символы в которых указано направление движения по кривой

Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной поверхности с краем.

Пусть А — гладкое векторное поле в области ориентированного евклидова пространства - (кусочно) гладкая ориентированная компактная поверхность с краем в области . В применении к -форме с учетом определения ротора векторного поля, формула Стокса означает равенство

Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде классической формулы Стокса

В такой записи она означает, что циркуляция векторного поля на границе поверхности равна потоку ротора того поля через саму поверхность.

Как всегда, при этом на выбирается ориентация, согласованная с ориентацией

d. Формула Гаусса — Остроградского.

Пусть У — компактная область ориентированного евклидова пространства ограниченная (кусочно) гладкой поверхностью — краем V. Если В — гладкое поле , то в соответствии с определением дивергенции поля формула Стокса дает равенство

Используя соотношение (2) и запись формы сор через форму объема равенство (5) можно переписать в виде классической формулы Гаусса—Остроградского

В такой записи она означает, что поток векторного поля через границу области равен интегралу от дивергенции этого поля по самой области

е. Сводка классических интегральных формул.

В итоге мы пришли к следующей векторной записи трех классических интегральных формул анализа: