писать:
b. Формула Ньютона — Лейбница.
Пусть
— путь в области
В применении к
-форме
формула Стокса
с одной стороны, означает равенство
что совпадает с классической формулой
Ньютона—Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента она означает, что
Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона — Лейбница можно переписать в виде
В такой записи она означает, что приращение функции на пути равно работе на этом пути поля градиента этой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме очевидного вывода о том, что работа поля
вдоль пути у зависит только от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более тонкое наблюдение. А именно, движение по. поверхности
уровня функции
происходит без совершения работы полем
поскольку в этом случае
Далее, как показывает левая часть формулы, работа поля
зависит даже не столько от начала и конца пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции
лежат эти точки.
c. Формула Стокса.
Напомним, что работа поля на замкнутом пути называется циркуляцией поля на этом пути.
Чтобы отметить, что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обозначения
часто пишут
е. Сводка классических интегральных формул.
В итоге мы пришли к следующей векторной записи трех классических интегральных формул анализа: