§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд

1. Основные определения.

а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства.

Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений.

Определение 1. Пусть — вещественно-, комплексно- или вообще векторнозначные соответствии с природой множества функции, определенные на множестве X, и пусть — база в X. Тогда соотношения

означают по определению, что в равенстве вещественная функция является соответственно ограниченной на X, финально ограниченной при базе и бесконечно малой при базе

Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками (функции ).

Соотношение

по определению означающее, что при базе называют обычно асимптотической эквивалентностью или асимптотическим равенством указанных функций при базе

Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют термином асимптотические формулы.

Там, где указание аргумента функции несущественно, принята сокращенная форма обозначений которой мы уже систематически пользовались.

В наших дальнейших рассмотрениях или или — как правило, одна из баз или

Используя введенные обозначения, можно, в частности, напи сать, что

Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями, использование которых в вычислительных целях возможно, но после дополнительной работы, связанной с оценкой остатка. Об этом мы уже говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолютной погрешностью. Так, например, при разность не стремится к нулю, поскольку при каждом значении х, являющемся простым числом, функция имеет единичный скачок. Вместе с тем относительная погрешность от замены на стремится к нулю;

Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых абсолютная величина разности между приближаемой функцией и частичной суммой ряда стремится к нулю при

Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических формул.

Пример 6. Трудоемкость вычисления значений или возрастает при увеличении Воспользуемся, однако, тем, что велико и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для приближенного вычисления

Из очевидных соотношений

следует, что

Но

поэтому при

Поскольку когда относительная погрешность формулы стремится к нулю при .

Пример 7. Покажем, что при функция

асимптотически эквивалентна функции Поскольку при то, применяя правило Лопиталя, находим, что

Пример 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функции

которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экспоненты

Интегрируя по частям, получаем

Последний интеграл, как было показано в примере 7, есть при . Включая в еще и получаемую при подстановке постоянную нахо

Погрешность О приближенного равенства

асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе и последним, членом написанной суммы. Вместе с тем при о каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с предшествующим членом, поэтому естественно написать неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда, порожденного функцией

Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении поэтому нельзя писать

Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно полезным асимптотическим дониманием ряда, связанным, в отличие от классического случая, с относительным, а не абсолютным приближением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в отлитие от классического случая, используются не столько для приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания коллективного поведения значений функции при рассматриваемом предельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении .

b. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд.

Определение 2. Последовательность асимптотических формул

справедливых при некоторой базе в множестве X, где определены рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения

или, короче, в виде и называют асимптотичесним разложением функции при данной базе

Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении всегда

и, значит, при любом значении

т. е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом.

Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной комбинации

функций той или иной удобной для конкретной задачи последовательности

Определение 3. Пусть X — множество с заданной в нем базой Последовательность определенных на X функций называется асимптотической последовательностью при базе если при базе (каковы бы ни были два соседние члена этой последовательности) и если на любом элементе базы ни одна из функций не равна нулю тождественно.

Замечание 2. Условие, что на элементах В базы естественно, поскольку в противном случае все функции были бы равны нулю тождественно на В и система оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной.

Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются асимптотическими:

при базе

при базе

последовательность полученная из асимптотической умножением всех ее членов на одну и ту же функцию.

Определение 4. Если — асимптотическая последовательность при базе то асимптотическое разложение вида

называется асимптотическим разложением или асимптотическим рядом функции по асимптотической последовательности при базе

Замечание 3. Понятие асимптотического ряда было сформулировано Пуанкаре, активно использовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые методы их получения, встречались в математике еще раньше. По поводу возможного обобщения понятия асимптотического разложения в смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2—4) см. задачу 5 в конце параграфа.