Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Принцип сжимающих отображений

Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю сбою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования.

Определение 1. Точка называется неподвижной точкой отображения , если

Определение 2. Отображение метрического, пространства в себя называется сжимающим, если существует число такое, что для любых точек из X имеет место неравенство

Теорема (принцип неподвижной точки Пикара—Банаха).

Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.

Более того, для любой точки итерационная последовательность сходится к а. Скорость этой сходимости дается оценкой

Возьмем произвольную точку покажем, что последовательность фундаментальна. Отображение сжимающее, поэтому в силу (1)

и

Отсюда видно, что последовательность действительно фундаментальная.

Пространство полное, поэтому указанная последовательность имеет предел

Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее отображение всегда непрерывно, поэтому

Таким образом, — неподвижная точка отображения

Другой неподвижной точки отображение иметь не может, поскольку из с учетом (1) следует

что возможно только при т. е. при

Далее, из соотношения

переходя к пределу при находим, что

В дополнение к этой теореме докажем следующее Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть полное метрическое пространство; — топологическое пространство, играющее в дальнейшем роль пространства параметров.

Пусть каждому значению параметра отвечает сжимающее отображение пространства X в себя, причем выполнены следующие условия:

семейство равномерно сжимающее, т. е. существует такое число каждое отображение является -сжимающим, при каждом отображение как функция от непрерывно в некоторой точке

Тогда решение уравнения в точке непрерывно зависит от

Как было показано при доказательстве теоремы, решение уравнения может быть получено как предел последовательности исходя из любой точки . Пусть

С учетом оценки (2) и условия а), получаем

Последний член в этом соотношении в силу условия стремится к нулю при Таким образом, доказано, что

Пример 1. В качестве важного примера применения принципа сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существования решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию . Если функция такова, что

где М — некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное условие

существуют окрестность точки и определенная в ней единственная функция которая удовлетворяет уравнению

и начальному условию (3).

Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде одного соотношения

Обозначая через правую часть последнего равенства, находим, что есть отображение множества определенных в окрестности точки непрерывных функций в себя. Рассматривая как метрическое пространство с равномерной метрикой (см. формулу (6) из § 1), находим, что

Если считать, что то на соответствующем отрезке I оказывается выполненным неравенство

где Таким образом, мы имеем сжимающее отображение

полного (см. пример 4 из § 5) метрического пространства в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь и притом единственную неподвижную точку Но это означает, что найденная в функция и будет той единственной функцией, которая определена и удовлетворяет уравнению (5).

Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать, исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого нам уравнения

при начальном условии (3).

В данном случае

и принцип применим по крайней мере при

Исходя из начального приближения построим последовательность приближений:

из которой уже видно, что

Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной выше теореме, носит также название принципа сжимающих отображений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений был сформулирован Банахом.

Рис. 68

Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке вещественнозначная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет и притом единственную точку а, в которой Наряду с простейшим общим методом поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие специфику функции Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона или методом касательных. Возьмем произвольную точку и запишем уравнение касательной к графику нашей функции в точке Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем в качестве первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя на Так мы получим последовательность

точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно стремиться к а.

В частности, если , т. е. когда мы ищем где рекуррентное соотношение (6) имеет вид

что при преобразуется к знакомому выражению

Способ (6) образования последовательности называют методом Ньютона.

Если вместо последовательности (6) рассматривается последовательность, получаемая рекуррентным соотношением

то говорят о модифицированном методе Ньютона. Модификация состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке Рассмотрим отображение

По теореме Лагранжа

где — некоторая точка, лежащая между

Таким образом, если на некотором отрезке выполнены условия

и

то задаваемое соотношением (8) отображение А: окажется сжимающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно из (8), условие равносильно соотношению

Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции модифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения

Задачи и упражнении

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru