§ 7. Принцип сжимающих отображений

Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю сбою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования.

Определение 1. Точка называется неподвижной точкой отображения , если

Определение 2. Отображение метрического, пространства в себя называется сжимающим, если существует число такое, что для любых точек из X имеет место неравенство

Теорема (принцип неподвижной точки Пикара—Банаха).

Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.

Более того, для любой точки итерационная последовательность сходится к а. Скорость этой сходимости дается оценкой

Возьмем произвольную точку покажем, что последовательность фундаментальна. Отображение сжимающее, поэтому в силу (1)

и

Отсюда видно, что последовательность действительно фундаментальная.

Пространство полное, поэтому указанная последовательность имеет предел

Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее отображение всегда непрерывно, поэтому

Таким образом, — неподвижная точка отображения

Другой неподвижной точки отображение иметь не может, поскольку из с учетом (1) следует

что возможно только при т. е. при

Далее, из соотношения

переходя к пределу при находим, что

В дополнение к этой теореме докажем следующее Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть — полное метрическое пространство; — топологическое пространство, играющее в дальнейшем роль пространства параметров.

Пусть каждому значению параметра отвечает сжимающее отображение пространства X в себя, причем выполнены следующие условия:

семейство равномерно сжимающее, т. е. существует такое число каждое отображение является -сжимающим, при каждом отображение как функция от непрерывно в некоторой точке

Тогда решение уравнения в точке непрерывно зависит от

Как было показано при доказательстве теоремы, решение уравнения может быть получено как предел последовательности исходя из любой точки . Пусть

С учетом оценки (2) и условия а), получаем

Последний член в этом соотношении в силу условия стремится к нулю при Таким образом, доказано, что

Пример 1. В качестве важного примера применения принципа сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существования решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию . Если функция такова, что

где М — некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное условие

существуют окрестность точки и определенная в ней единственная функция которая удовлетворяет уравнению

и начальному условию (3).

Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде одного соотношения

Обозначая через правую часть последнего равенства, находим, что есть отображение множества определенных в окрестности точки непрерывных функций в себя. Рассматривая как метрическое пространство с равномерной метрикой (см. формулу (6) из § 1), находим, что

Если считать, что то на соответствующем отрезке I оказывается выполненным неравенство

где Таким образом, мы имеем сжимающее отображение

полного (см. пример 4 из § 5) метрического пространства в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь и притом единственную неподвижную точку Но это означает, что найденная в функция и будет той единственной функцией, которая определена и удовлетворяет уравнению (5).

Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать, исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого нам уравнения

при начальном условии (3).

В данном случае

и принцип применим по крайней мере при

Исходя из начального приближения построим последовательность приближений:

из которой уже видно, что

Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной выше теореме, носит также название принципа сжимающих отображений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений был сформулирован Банахом.

Рис. 68

Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке вещественнозначная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет и притом единственную точку а, в которой Наряду с простейшим общим методом поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие специфику функции Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона или методом касательных. Возьмем произвольную точку и запишем уравнение касательной к графику нашей функции в точке Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем в качестве первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя на Так мы получим последовательность

точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно стремиться к а.

В частности, если , т. е. когда мы ищем где рекуррентное соотношение (6) имеет вид

что при преобразуется к знакомому выражению

Способ (6) образования последовательности называют методом Ньютона.

Если вместо последовательности (6) рассматривается последовательность, получаемая рекуррентным соотношением

то говорят о модифицированном методе Ньютона. Модификация состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке Рассмотрим отображение

По теореме Лагранжа

где — некоторая точка, лежащая между

Таким образом, если на некотором отрезке выполнены условия

и

то задаваемое соотношением (8) отображение А: окажется сжимающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно из (8), условие равносильно соотношению

Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции модифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения

Задачи и упражнении

(см. скан)