Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Интеграл от дифференциальной формы

1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры.

а. Работа поля.

Пусть — непрерывное векторное поле сил, действующих в области евклидова пространства Перемещение пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вычислить работу, совершаемую при перемещении единичной пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути

Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего элементы конструкции.

Известно, что в постоянном поле перемещение на вектор связано с работой, равной

Рис. 83.

Пусть — определенное на отрезке гладкое отображение

Возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка Тогда на каждом промежутке разбиения с точностью до бесконечно малых более высокого порядка выполняется равенство Вектору смещения из (рис. 83) в пространстве отвечает перемещение из точки на вектор который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с вектором касательным к траектории в точке Ввиду непрерывности поля его можно считать локально постоянным, и потому работу отвечающую промежутку (времени) можно с малой относительной погрешностью вычислять в виде

или

Значит,

откуда, переходя к пределу при измельчании разбиения ртрезка I, получаем, что

Если выражение переписать в виде то, считая координаты в декартовыми, ему можно придать вид после чего формулу (1) можно записать как

или как

Точный смысл написанным в (2) и (2) интегралам от -формы работы йдоль пути у придает формула (1).

Пример 1. Рассмотрим поле сил определенное во всех точках плоскости кроме начала координат. Вычислим работу этого поля вдоль кривой заданной в виде и вдоль кривой задан ной соотношениями

В соответствии с формулами (1), (2), (2) находим

и

Пример 2. Пусть радиус-вектор точки Пусть всюду в вне начала координат задано поле сил вида Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля на пути у. Используя (2), находим

Здесь мы, как видно, положили

Итак, в любом центральном поле работа на пути у оказалась зависящей только от расстояний начала и конца пути до центра 0 поля.

В частности, для гравитационного поля единичной точечной массы, помещенной в начало координат, получаем

b. Поток через поверхность.

Пусть в области ориентированного евклидова пространства имеется установившееся течение жидкости (или газа) и — поле скоростей этого течения в области Пусть, кроме того, в взята гладкая ориентированная поверхность Для определенности будем считать, что ориентация задана полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток жидкости через поверхность точнее, требуется найти, какой объем жидкости протекает в единицу времени через поверхность в указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.

Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения постоянно и равно V, то поток в единицу времени через натянутый на пару векторов параллелограмм П равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Если нормаль к и ищется поток через П в сторону, указываемую нормалью то он равен смешанному произведению если и репер задают одинаковую ориентацию (т. е. если — репер заданной в ориентации). Если же репер задает в ориентацию, противоположную определяемой

нормалью то поток в сторону, указанную нормалью равен

Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для простоты, что поверхность в целом допускает гладкую параметризацию где — двумерный промежуток плоскости

Разобьем I на маленькие промежутки (рис. 84). Образ каждого такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на образы векторов смещения вдоль координатных направлений.

Рис. 84.

Считая, что мало меняется в пределах куска поверхности, и заменяя указанным параллелограммом, можем считать, что поток через кусок поверхности с малой относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля скоростей через параллелограмм, порожденный векторами Считая, что репер задает на S ту же ориентацию, что и находим

Суммируя элементарные потоки, получаем

где (рассмотренная в примере 8 § 5 гл. XII) 2-форма потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р промежутка то естественно считать, что

Последний символ есть интеграл от 2-формы по ориентированной поверхности

Вспомнив (см. формулу (12) § 5 гл. XII) координатное выражение формы потока в декартовых координатах, мы вправе записать также, что

Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи. В сущности, мы дали только точное определение (3) потока и ввели некоторые обозначения (3), (4), но не получили пода эффективной вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы.

Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо в него подставить функции задающие путь у. Напомним (см. § 5 гл. XII), что такая замена интерпретируется как перенос заданной в формы со на отрезок

Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока может быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических уравнений поверхности.

В самом деле,

и

Форма фсоу определена на Двумерном промежутке . В I любая 2-форма имеет вид где — зависящая от формы функция на I, поэтому

есть площадь определяемого ортогональными векторами прямоугольника

Таким образом,

При измельчении разбиения в пределе получим

Где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы по простейшей ориентированной поверхности а в правой части — интеграл от функции по прямоугольнику .

Остается вспомнить, что координатное представление формы получается из координатного выражения формы прямой заменой переменных где карта поверхности

Выполнив эту замену, из (4) получим

Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный интеграл Римана по прямоугольнику I.

Таким образом, мы нашли,

где — карта поверхности задающая ту же ориентацию что и указанное нам поле нормалей к . Если карта задает на противоположную ориентацию, то равенство (6), вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут отличаться только знаком.

Окончательная формула (6), очевидно, есть просто напросто аккуратно записанный в координатах предел сумм знакомых Нам элементарных потоков

Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой. В общем случае гладкую поверхность можно разбить на гладкие куски не имеющие между собой существенных пересечений, и найти поток через как сумму потоков через куски

Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной скоростью . Если в области течения взять любую замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется, количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую поверхность должен быть равен нулю.

Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве сферу

Сферу с точностью до множества, имеющего площадь нуль и потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать параметрически

где

После подстановки в (6) этих соотношений и , получим

Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не Интересовались в какую сторону (внутрь или наружу) ведется расчет потока.

Пример 4. Пусть поле скоростей, движущейся в пространстве среды в декартовых координатах определяется равенством . Найдем в этом случае поток через сферу внутрь ограниченного ею шара (т. е. в сторону внутренней нормали).

Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что

Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными координатами ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый поток

В данном случае полученный результат легко проверить: вектор у скорости течения в каждой точке сферы равен по величине ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен площади сферы умноженной на Поток в противоположную сторону получается равным

1
Оглавление
email@scask.ru