3. Форма объема.

Определение 1. Если — ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением то формой объема на соответствующей данной ориентации и скалярному произведению называется такая кососимметрическая -форма, которая на «ртонормированном репере данного класса ориентации принимает значение единицы.

Значение -формы на репере очевидно, вполне определяет эту форму.

Заметим также, что форма определяется не индивидуальным ортонормированным репером, а только их классом ориентации.

В самом деле, если ей — два таких репера одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к первому является ортогональной матрицей, причем Значит,

Если в фиксирован ортонормированный — проектирование на соответствующие координатные

оси, то, очевидно, и

Таким образом,

Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упорядоченные векторы

Определение 2. Если гладкая -мерная ориентированная поверхность лежит в евклидовом пространстве то в каждой касательной к плоскости имеются ориентация, согласованная с ориентацией и скалярное произведение, индицированное скалярным произведением в а значит, есть и форма объема Возникающая при этом на дифференциальная -форма называется формой (или элементом) объема на поверхности индуцированной вложением 5 в евклидово пространство

Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверх ности есть интеграл по этой поверхности от формы объема, соответствующей выбираемой на поверхности ориентации

Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей определение площади, конечно, согласуется с определением 1 § 4 гл к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом виде -мерную гладкую поверхность

Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все касательные к ней плоскости Если - репер в фиксированного в класса ориентации, то из опреде лений 2 и 3 формы объема следует, что Но тогда (см равенство (2) § 4 гл. XII)

Отметим, что сама форма определена на любом наборе векторов но равенство (6) действует только на реперах заданного в класса ориентации.

Отметим также, что форма объема определена только на ориен тированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно гово рить о форме объема на лежащем в листе Мёбиуса, хотя можно говорить о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверхности.

Определение 4. Пусть — -мерная кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность в — конечное или счетное число ее гладких параметри зуемых кусков, пересекающихся, быть, может лишь по поверх ностям размерности не выше 6—1 и таких, что

Площадью (или -мерным объемом) поверхности называемся сумма площадей поверхностей

В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет лежащий в лист Мёбиуса, или, что то же самое, искать его массу, если это материальная поверхность с единичной плотностью распределения вещества.

Традиционными рассуждениями проверяется корректность определения 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения поверхности