ГЛАВА XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в математическом отношении характеризуется некоторым набором числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако описание явления, как правило, существенно упрощается, если известно, что некоторые из этих параметров 
их комбинации очень велики или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений, происходящих со скоростями 
много меньшими скорости света 
вместо преобразований Лоренца (гл. I, § 3, пример 3)
можно использовать преобразования Галилея
поскольку 
Пример 2. Период
колебаний маятника через параметр 
связан с углом 
максимального отклонения маятника от положения устойчивого равновесия (см. гл. VI, § 4). Если колебания малы, т. е. 
то для периода таких колебаний получается простая формула
Пример 3. Пусть на частицу массы 
действует возвращающая ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклонения (пружина с коэффициентом жесткости к), и сила сопротивления среды, пропорциональная (с коэффициентом а)
квадрату скорости частицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см. гл. V, § 6)
Если среда «разрежается», то 
и, надо полагать, движение становится близким к описываемому уравнением
(гармонические колебания частоты а если среда «густеет», то 
и, поделив на а, получаем в пределе уравнение 
Пример 4. Если 
— количество простых чисел, не превосходящих 
то, как известно (см. гл. III, § 2), при больших значениях 
величину 
с малой относительной погрешностью можно находить по формуле
Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными являются соотношения
относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе х к нулю (см. гл. V, § 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены,
приписыванием одного или более следующих членов, получаемых по формуле Тейлора.
Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в существенном правильное описание изучаемого явления, используя специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю) или, наоборот, велик (стремится к бесконечности).
Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехода.
Задачи такого рода называются асимптотическими. Они возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и естествознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного члена) асимптотики, т. е. удобного упрощенного описания явления; оценка погрешности, возникающей при использовании найденной асимптотической формулы, и выяснение области ее
применимости; уточнение главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле Тейлора.
Методы решения асимптотических задач (называемые асимптотическими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементарных асимптотических методов, коначно, относится формула Тейлора — одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления.
Эта глава должна дать читателю начальные представления об элементарных асимптотических методах анализа.
В первом параграфе мы вйедем общие понятия и определения, относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором используем их при изложении метода Лапласа построения асимптотического разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятностей, является существеннейшей составной частью развитого впоследствии Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного анализа. Систематическое изложение основных методов построения асимптотики интегралов, зависящих от параметра (метод Лапласа, метод стационарной фазы и метод перевала), читатель, знакомый с комплексным анализом, сможет найти, например, в книге: М. В. Федорюк. Метод перевала. — М.: Наука, 1977, которая, кстати, содержит большую библиографию и которой мы следуем в нашем изложении, приводимых ниже начальных сведений об асимптотических методах анализа.
