3. Мера (объем) допустимого множества.
Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного множества 
назовем величину
если указанный интеграл (Римана) существует.
Поскольку
а множество точек разрыва функции 
совпадает с 
, то по критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для допустимых множеств.
Таким образом, допустимые множества и только они являются измеримыми в смысле определения 3.
Выясним теперь геометрический смысл величины 
.
Если Е — допустимое множество, то
где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла (теорема 3 § 1) мера 
множества определена тогда и только тогда, когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме Дарбу (теорема 2 § 1) они являются пределами нижних и верхних интегральных сумм функции 
отвечающих разбиениям Р промежутка I. Но в силу определения функции 
нижняя интегральная сумма равна сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов тех
промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множеством Е (объем описанного многогранника). Значит, 
есть общий предел при 
объемов вписанных в 
и описанных около Е многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме простых тел 
При 
объем принято называть длиной, а при 
— площадью.
Замечание 3. Поясним теперь почему вводимая определением 3 мера 
множества называется иногда мерой Жордана.
Определение 4. Множество 
называется множеством меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для любого 
его можно покрыть такой конечной системой промежутков 
что 
По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.
Для того чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограниченное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов описанных около Е многогранников (и служила мерой 
или объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница 
множества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому принимают
Определение 5. Множество Е называется измеримым в смысле Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле Жордана.
Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану, это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен определением 1. Вот почему определенная выше мера 
может быть названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по Жордану).
Задачи и упражнения
(см. скан)
