3. Мера (объем) допустимого множества.

Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного множества назовем величину

если указанный интеграл (Римана) существует.

Поскольку

а множество точек разрыва функции совпадает с , то по критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для допустимых множеств.

Таким образом, допустимые множества и только они являются измеримыми в смысле определения 3.

Выясним теперь геометрический смысл величины .

Если Е — допустимое множество, то

где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла (теорема 3 § 1) мера множества определена тогда и только тогда, когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме Дарбу (теорема 2 § 1) они являются пределами нижних и верхних интегральных сумм функции отвечающих разбиениям Р промежутка I. Но в силу определения функции нижняя интегральная сумма равна сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов тех

промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множеством Е (объем описанного многогранника). Значит, есть общий предел при объемов вписанных в и описанных около Е многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме простых тел

При объем принято называть длиной, а при — площадью.

Замечание 3. Поясним теперь почему вводимая определением 3 мера множества называется иногда мерой Жордана.

Определение 4. Множество называется множеством меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для любого его можно покрыть такой конечной системой промежутков что

По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.

Для того чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограниченное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов описанных около Е многогранников (и служила мерой или объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница множества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому принимают

Определение 5. Множество Е называется измеримым в смысле Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле Жордана.

Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану, это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен определением 1. Вот почему определенная выше мера может быть названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по Жордану).

Задачи и упражнения

(см. скан)