ГЛАВА XVI. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ

§ 1. Поточечная и равномерная сходимость

1. Поточечная сходимость.

Определение 1. Говорят, что последовательность функций сходится в точке если сходится последовательность значений этих функций в точке х.

Определение 2. Множество точек, в которых последовательность функций сходится, называется множеством сходимости последовательности функций.

Определение 3. На множестве сходимости последовательности функций естественно возникает функция задаваемая соотношением Эта функция называется предельной функцией последовательности или пределом последовательности функций

Определение 4. Если предельная функция последовательности то говорят, что эта последовательность функций сходится (или сходится поточечно) к функции на множестве Е.

В этом случае пишут на Е, или на Е

Пример 1. Пусть а функции заданы соотношением Множеством сходимости этой последовательности функций, очевидно, является отрезок а предельной является функция задаваемая условиями,

Пример 2. Рассматриваемая на последовательность функций сходится на к функции тождественно равной нулю.

Пример 3. Последовательность тоже имеет своим пределом функцию тождественно равную нулю.

Пример 4. Рассмотрим на отрезке последовательность функций Поскольку при , эта последовательность на всем отрезке I стремится к нулю.

Пример 5. Пусть пусть

Если — целое, то если же то, очевидно,

Рассмотрим теперь последовательность покажем, что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле

Действительно, если , то при любом значении значит, . Если где то уже при будет что влечет

Итак,