§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра

В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от параметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного интеграла, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и классическими интегральными формулами анализа.

1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра.

Пусть X — измеримое подмножество например ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; — некоторое подмножество

Рассмотрим зависящий от параметра интеграл

где функция предполагается определенной на множестве и интегрируемой на X при любом фиксированном значении

Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если — компакт в то

Утверждение 2. Если - область в функция дифференцируема в по переменной где и

Утверждение 3. Если X и — измеримые компакты в соответственно, то и

Отметим, что значения функции могут при этом лежать в любом векторном нормированном пространстве Важнейшие частные случаи — когда есть или . В этих случаях проверка утверждений 1—3, очевидно, сводится к их доказательству при Но при доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла (см. гл. XVII, § 1), а утверждение 3 является простым следствием утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. XI, § 4)