ГЛАВА XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра.

§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.

Интеграл, зависящий от параметра, — это функция вида

где играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению отвечает множество Е, и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция

При рода множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т — подмножество пространств или

Если при каждом значении параметра интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра.

Если же при всех или при некоторых значениях интеграл в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию обычно называют несобственным интегралом, зависящим от параметра.

Но это, конечно, всего лишь терминологические условности.

В том случае, когда говорят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим от параметра.

Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве будем брать только не зависящие

от параметра промежутки числовой прямой и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле.