ГЛАВА XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра.
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
Интеграл, зависящий от параметра, — это функция вида
где
играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению
отвечает множество Е, и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция
При рода множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т — подмножество пространств
или
Если при каждом значении параметра
интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция
в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях
интеграл в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию
обычно называют несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Но это, конечно, всего лишь терминологические условности.
В том случае, когда
говорят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим от параметра.
Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве
будем брать только не зависящие
от параметра промежутки числовой прямой
и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле.