§ 3. Дифференциал отображения

1. Отображение, дифференцируемое в точке.

Определение 1. Пусть — нормированные пространства. Отображение множества в называется дифференцируемым в течке , внутренней для Е, если существует такое линейное непрерывное отображение (я): что

где

Определение 2. Линейная относительно функция удовлетворяющая соотношению (1), называется дифференциалом, касательным отображением или производной отображения в точке х.

Как и прежде, мы будем обозначать одним из символов или

Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение дифференцируемости отображения в точке почти, дословно совпадает с уже знакомым нам из главы VIII, § 2 определением, где оно рассматривалось в случае Поэтому без повторных пояснений мы позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия, как приращение функции, приращение аргумента, касательное пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.

Проверим, однако, в общем виде следующее

Утверждение 1. Если отображение дифференцируемо во внутренней точке х множества то его дифференциал в этой точке определен однозначно.

Итак, проверим единственность дифференциала.

Пусть — линейные отображения, удовлетворяющие соотношению (1), т. е.

где

Тогда, полагая после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что

Здесь — линейное относительно отображение, а а при Взяв вспомогательный числовой параметр X,

можно теперь записать, что

Таким образом, при любом (напомним, что х — внутренняя точка Е). Поскольку то мы показали, что при любом значении имеет место равенство

Если Е — открытое подмножество в — отображение, дифференцируемое в каждой точке , т. е. дифференцируемое на Е, то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в точке, на множестве Е возникает функция обозначаемая которую называют производной от или производным отображением по отношению к исходному отображению Значение этой функции в индивидуальной точке есть линейное непрерывное отображение , являющееся дифференциалом или производной функции данной конкретной точке

Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования непрерывности линейного отображения из равенства (1) следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является непрерывным в этой точке.

Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере числовых функций.

Сделаем еще следующее важное

Замечание. Если условие дифференцируемости отображения в некоторой точке а записать в виде

где при то становится ясно, что определение 1 на самом деле относится к отображениям любых аффинных пространств линейные пространства X и Y которых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые аффинными нормированными пространствами, встречаются часто, поэтому сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании дифференциального исчисления.

Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени относится как к линейным, так и к аффинным нормированным пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику векторных пространств.