§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра.

а. Основное определение и примеры.

Пусть при каждом значении сходится несобственный интеграл

по промежутку Для определенности будем считать, что интеграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пределом интегрирования (т. е. или или функция неограничена как функция х в окрестности точки ).

Определение. Говорят, что несобственный интеграл (1), зависящий от параметра , сходится равномерно на множестве , если для любого числа существует такая окрестность точки в множестве что при любом и любом значении имеет место следующая оценка:

остатка интеграла (1).

Если ввести обозначение

для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней форме:

равномерная сходимость интеграла (1) на множестве с У по определению означает, что

Действительно, ведь

поэтому соотношение (2) можно переписать в виде

Последнее неравенство справедливо при любом и любом у что и указано в соотношении (4).

Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным, зависящим от того же параметра у интегралом (3).

Пример 1. Интеграл

сходится равномерно на всем множестве значений параметра поскольку при любом

как только .

Пример 2. Интеграл

очевидно, сходится, лишь когда При этом на любом множестве он сходится равномерно.

В самом деле, если то

Вместе с тем на всем множестве равномерной сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости интеграла (1) на множестве Е означает, что

В нашем случае в качестве во можно взять любое действительное число, поскольку

каково бы ни было фиксированное значение

Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся.

Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов

в которых — фиксированные положительные числа, сходится равномерно на множестве неотрицательных значений параметра. Для остатка интеграла сразу получаем, что

где Поскольку последний интеграл сходится, то при достаточно больших значениях он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа Но это и означает равномерную сходимость интеграла

Теперь рассмотрим остаток второго интеграла

Поскольку при

при , то для очевидно, найдется такое число , что при любом остаток интересующего нас интеграла будет меньше независимо даже от значения

Если же то, учитывая, что при заключаем, что при всех достаточно больших значениях одновременно для всех значений остаток интеграла можно сделать меньшим чем .

Объединяя участки заключаем, что, действительно, по любому можно так подобрать число В, что при любом и любом соответствующий остаток интеграла будет меньше чем .

b. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

Утверждение 1 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (1), зависящий от параметра сходился равномерно множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала такая окрестность точки со, что при любых и любом выполняется неравенство

Неравенство (6) равносильно соотношению поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций зависящих от параметра

В качестве иллюстрации использования этого критерия Кощи рассмотрим следующее иногда полезное его.

Следствие 1. Если функция в интеграле (1) непрерывна на множестве а сам интеграл (1) сходится при любом но расходится при или то он сходится неравномерно на интервале разно как и на любом множестве замыкание которого содержит точку расходимости.

Если при интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует

число такое, что в любой окрестности найдутся числа для которых

Собственный интеграл

является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке (см. утверждение 1 из § 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство

На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве замыкание которого содержит точку с.

Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится при

Пример 4. Интеграл

сходится при и расходится при поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на всем множестве положительных чисел.

В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно:

Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве наш интеграл сходится равномерно, Воскольку

с. Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции интегрируемы по х на любом отрезке при каждом значении

Если при каждом значении и любом имеет место неравенство а интеграл

сходится равномерно на то интеграл

сходится абсолютно при каждом и равномерно на множестве

Это следует из оценок

и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1).

Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла. Пример 5. Интеграл

сходится равномерно на всем множестве значений параметра а, поскольку сходится.

Пример 6. Ввиду неравенства интеграл

как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида Поскольку при интеграл расходится, на основании следствия критерия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.

Утверждение 3 (признак Абеля—Дирихле) Пусть функции при каждом значении интегрируемы по х на любом отрезке

Для равномерной сходимости интеграла

на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий:

Существует постоянная М. такая, что при любом и любом выполнено неравенство

при каждом функция монотонна по х на промежутке на К при

Интеграл

сходится равномерно на множестве

при каждом функция монотонна по х на промежутке и существует постоянная такая, что при любом и любом выполнено неравенство

Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что

где . Если брать в достаточно малой окрестности точки и, то правую часть написанного равенства можно сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа причем сразу для всех значений . В случае первой пары условий это очевидно В случае второй пары это становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1).

Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения по промежутку действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра.

Если в утверждении 3 функции не зависят от параметра у, то мы вновь возвращаемся к соответствующему признаку сходимости несобственных интегралов.

Пример 7. Интеграл

как следует из критерия Коши и признака Абеля—Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при . Полагая видим, что при для рассматриваемого интеграла выполнена пара условий утверждения 3. Следовательно, на любом множестве вида данный интеграл сходится равномерно. На множестве всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при

Пример 8. Интеграл

сходится и притом равномерно на множестве

Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла легко заключить, что при данный интеграл вообще расходится. Считая теперь и полагая видим, что выполнена вторая пара условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассматриваемого интеграла на множестве

Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости; вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.

Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла мы всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественнозначных функций Вместе с тем, как теперь легко проанализировать, полученные результаты распространяются и на интегралы от векторночначных функций, в частности на интегралы от комплекснозначных функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее векторное пространство значений подынтегральной функции является полным (для это выполнено), а в признаке Абеля—Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель произведения относительно которого предполагается, что он является монотонной функцией.

Все сказанное в равной степени относится и к основным результатам последующих пунктов этого параграфа.

Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пределом

делом интегрирования со. Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде

где и считают сходящимся равномерно на множестве если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не зависит от выбора точки