Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра.

а. Основное определение и примеры.

Пусть при каждом значении сходится несобственный интеграл

по промежутку Для определенности будем считать, что интеграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пределом интегрирования (т. е. или или функция неограничена как функция х в окрестности точки ).

Определение. Говорят, что несобственный интеграл (1), зависящий от параметра , сходится равномерно на множестве , если для любого числа существует такая окрестность точки в множестве что при любом и любом значении имеет место следующая оценка:

остатка интеграла (1).

Если ввести обозначение

для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней форме:

равномерная сходимость интеграла (1) на множестве с У по определению означает, что

Действительно, ведь

поэтому соотношение (2) можно переписать в виде

Последнее неравенство справедливо при любом и любом у что и указано в соотношении (4).

Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным, зависящим от того же параметра у интегралом (3).

Пример 1. Интеграл

сходится равномерно на всем множестве значений параметра поскольку при любом

как только .

Пример 2. Интеграл

очевидно, сходится, лишь когда При этом на любом множестве он сходится равномерно.

В самом деле, если то

Вместе с тем на всем множестве равномерной сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости интеграла (1) на множестве Е означает, что

В нашем случае в качестве во можно взять любое действительное число, поскольку

каково бы ни было фиксированное значение

Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся.

Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов

в которых — фиксированные положительные числа, сходится равномерно на множестве неотрицательных значений параметра. Для остатка интеграла сразу получаем, что

где Поскольку последний интеграл сходится, то при достаточно больших значениях он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа Но это и означает равномерную сходимость интеграла

Теперь рассмотрим остаток второго интеграла

Поскольку при

при , то для очевидно, найдется такое число , что при любом остаток интересующего нас интеграла будет меньше независимо даже от значения

Если же то, учитывая, что при заключаем, что при всех достаточно больших значениях одновременно для всех значений остаток интеграла можно сделать меньшим чем .

Объединяя участки заключаем, что, действительно, по любому можно так подобрать число В, что при любом и любом соответствующий остаток интеграла будет меньше чем .

b. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

Утверждение 1 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (1), зависящий от параметра сходился равномерно множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала такая окрестность точки со, что при любых и любом выполняется неравенство

Неравенство (6) равносильно соотношению поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций зависящих от параметра

В качестве иллюстрации использования этого критерия Кощи рассмотрим следующее иногда полезное его.

Следствие 1. Если функция в интеграле (1) непрерывна на множестве а сам интеграл (1) сходится при любом но расходится при или то он сходится неравномерно на интервале разно как и на любом множестве замыкание которого содержит точку расходимости.

Если при интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует

число такое, что в любой окрестности найдутся числа для которых

Собственный интеграл

является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке (см. утверждение 1 из § 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство

На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве замыкание которого содержит точку с.

Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится при

Пример 4. Интеграл

сходится при и расходится при поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на всем множестве положительных чисел.

В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно:

Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве наш интеграл сходится равномерно, Воскольку

с. Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции интегрируемы по х на любом отрезке при каждом значении

Если при каждом значении и любом имеет место неравенство а интеграл

сходится равномерно на то интеграл

сходится абсолютно при каждом и равномерно на множестве

Это следует из оценок

и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1).

Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла. Пример 5. Интеграл

сходится равномерно на всем множестве значений параметра а, поскольку сходится.

Пример 6. Ввиду неравенства интеграл

как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида Поскольку при интеграл расходится, на основании следствия критерия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.

Утверждение 3 (признак Абеля—Дирихле) Пусть функции при каждом значении интегрируемы по х на любом отрезке

Для равномерной сходимости интеграла

на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий:

Существует постоянная М. такая, что при любом и любом выполнено неравенство

при каждом функция монотонна по х на промежутке на К при

Интеграл

сходится равномерно на множестве

при каждом функция монотонна по х на промежутке и существует постоянная такая, что при любом и любом выполнено неравенство

Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что

где . Если брать в достаточно малой окрестности точки и, то правую часть написанного равенства можно сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа причем сразу для всех значений . В случае первой пары условий это очевидно В случае второй пары это становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1).

Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения по промежутку действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра.

Если в утверждении 3 функции не зависят от параметра у, то мы вновь возвращаемся к соответствующему признаку сходимости несобственных интегралов.

Пример 7. Интеграл

как следует из критерия Коши и признака Абеля—Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при . Полагая видим, что при для рассматриваемого интеграла выполнена пара условий утверждения 3. Следовательно, на любом множестве вида данный интеграл сходится равномерно. На множестве всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при

Пример 8. Интеграл

сходится и притом равномерно на множестве

Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла легко заключить, что при данный интеграл вообще расходится. Считая теперь и полагая видим, что выполнена вторая пара условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассматриваемого интеграла на множестве

Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости; вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.

Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла мы всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественнозначных функций Вместе с тем, как теперь легко проанализировать, полученные результаты распространяются и на интегралы от векторночначных функций, в частности на интегралы от комплекснозначных функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее векторное пространство значений подынтегральной функции является полным (для это выполнено), а в признаке Абеля—Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель произведения относительно которого предполагается, что он является монотонной функцией.

Все сказанное в равной степени относится и к основным результатам последующих пунктов этого параграфа.

Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пределом

делом интегрирования со. Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде

где и считают сходящимся равномерно на множестве если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не зависит от выбора точки

1
Оглавление
email@scask.ru